Matematické Fórum

1jirka22 · 31. 05. 2017 13:45

je dána funkce f: y= sin(x) a číslo $x_{0}$
$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

Jj · 31. 05. 2017 14:02 — Editoval Jj (31. 05. 2017 14:02)

↑ 1jirka22:

Řekl bych, zkusit výraz upravit podle vzorečku pro rozdíl funkcí sinus:

http://www.aristoteles.cz/matematika/ro … vzorce.php

(vzoreček č. 21) a pak využít známou tabulkovou limitu.

To dáte.

Rumburak

↑ 1jirka22:

Pomocí vztahů

$\sin x - \sin y = 2\cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$ ,

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

a skutečnosti, že funkce kosinus je spojitá.

1jirka22 · 31. 05. 2017 14:11

↑ Jj:
to už jsem dělal, ale nějak nevím...
$\lim_{x\to x_{0}}2cos(\frac{x+x_{0}}{2})sin(\frac{x-x_{0}}{2})$
jak jste teď myslel upravit?

Jj · 31. 05. 2017 14:23

↑ 1jirka22:

To není dobře - schází jmenovatel.

Rumburak

↑ 1jirka22:

Provedeme v limitě substituci $\frac{x-x_{0}}{2} = h \to 0$ , takže bude $x-x_0 = 2h$ a

$\cos(\frac{x+x_{0}}{2}) \sin(\frac{x-x_{0}}{2}) = \cos(x_{0}+ h) \sin h$ .

Těmito kroky dostaneme

$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = \lim_{h \to 0} \cos(x_0+h)\cdot\frac{\sin h}{h} = ...$

(pokud se nepletu).

1jirka22 · 31. 05. 2017 14:38

tak jsem se dopočítal k výsledku:
$\lim_{x\to x_{0}}\frac{sin(\frac{x-x_{0}}{2})}{\frac{x-x_{0}}{2}}*\frac{1}{2}*2*cos(\frac{x+x_{0}}{2})=1*1*cos(x_{0})$

Rumburak · 31. 05. 2017 14:42

↑ 1jirka22:
To vypadá dobře.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2017 13:45

Jak vypočítat tuto limitu?

#2 31. 05. 2017 14:02 — Editoval Jj (31. 05. 2017 14:02)

Re: Jak vypočítat tuto limitu?

#3 31. 05. 2017 14:10 — Editoval Rumburak (31. 05. 2017 14:11)

Re: Jak vypočítat tuto limitu?

#4 31. 05. 2017 14:11

Re: Jak vypočítat tuto limitu?

#5 31. 05. 2017 14:23

Re: Jak vypočítat tuto limitu?

#6 31. 05. 2017 14:23 — Editoval Rumburak (31. 05. 2017 14:37)

Re: Jak vypočítat tuto limitu?

#7 31. 05. 2017 14:38

Re: Jak vypočítat tuto limitu?

#8 31. 05. 2017 14:42

Re: Jak vypočítat tuto limitu?

Zápatí