Matematické Fórum

Terka1 · 31. 05. 2017 16:33

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/39949_18816158_10203574035588619_63736396_n.jpg

Potřebuji poradit s touto kuželosečkou. Mám najít její rovnici, vycházím z obrázku. Moc díky

misaH · 31. 05. 2017 16:45 — Editoval misaH (31. 05. 2017 16:46)

↑ Terka1:

Nerob duplicity, buď taká dobrá.

A bolo by dobre, keby si napísala, s čím konkrétne máš problém a pokiaľ si s riešením prišla.

Terka1 · 31. 05. 2017 17:02

↑ misaH:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/42743_18788466_1568162873196167_270433626_n.jpg
mám nejprve určit rovnici elipsy v techto reperech. Což si myslím, že mám správně, viz obrázek a pak mám určit matici přechodu, abych tu elipsu otočila, to ale nevím jak na ni. díky

Jj · 01. 06. 2017 19:25 — Editoval Jj (01. 06. 2017 19:26)

↑ Terka1:

Zdravím.

Jedná se o toto?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Střed elipsy má v "zelené soustavě" ksí1, ksí2 souřadnice $D(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ a rovnice elipsy v této soustavě je
$\frac{(\xi_1-\sqrt{2})^2}{4}+\frac{(\xi_1+\sqrt{2})^2}{1}=1$

V "červené soustavě" x, y má střed elipsy souřadnice D(2,0), rovnice elipsy v této soustavě se má zjistit.

Terka1 · 01. 06. 2017 20:40

↑ Jj:
Ano , přesně tak.

Jj · 01. 06. 2017 23:36

Předpokládám, že bude vhodná trochu podrobnější odpověď a že si budeme rozumět, když navážu na předchozí náčrtek a budu psát o zelené, resp. červené souřadné soustavě.

Terka1 napsal(a):
... pak mám určit matici přechodu, abych tu elipsu otočila, to ale nevím jak na ni.

Přesněji - neotáčí se elipsa, ale souřadná soustava.

Červená soustava souřadnic je vůči zelené otočená o úhel 45° ve směru hodinových ručiček (tzn. v záporném směru --> úhel otočení alfa = -45°). Související transformaci souřadnic (ksí1,ksí2 --> x, y) je možno popsat pomocí matic:

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2\end{pmatrix}$

Pro řešení úlohy využijeme opačný vztah (potřebujeme v rovnici elipsy transformovat ksí1, ksí2 do proměnnýxh x, y), tzn.
$\begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Což je možno rozepsat
$\xi_1 = x \cos \alpha - y \sin \alpha, \quad \xi_2 = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Do těchto vztahů je třeba ještě dosadit hodnoty cos(-45°) a sin(-45°) a nahradit těmito rovnicemi proměnné ksí1, ksí2 v rovnici elipsy
$\frac{(\xi_1-\sqrt{2})^2}{4}+\frac{(\xi_1+\sqrt{2})^2}{1}=1$ a rovnici upravit.

Podle mě po úpravě vyjde tato hledaná rovnice v proměnných x, y:
$5x^2 - 6xy + 5y^2 - 20x +12y + 12 = 0$

Výsledek ještě graficky - přes původní elipsu v zelených souřadnicích je načrtnuta červená v souřadnicích x, y.