Matematické Fórum

slender · 04. 06. 2017 18:49

Zdravím,
řeším následující kombinatorickou úlohu:

Mějme v osudí 12 bílých a 8 černých míčů. S osudím hrajeme následující hru. V každém kole vytáhneme jeden míč, prohlédneme si jej, zase ho vrátíme; pak následuje další kolo. Pokud takto vytáhneme za sebou bílý a potom černý míč, hra končí. Jaká je střední hodnota počtu tahů?

Zatím jsem dospěl k tomuto:
$X$ budiž náhodná veličina vyjadřující, v kolikátém tahu skončila hra.

$P[X = x] = \frac{12}{20}\cdot\frac{8}{20}\cdot\sum_{i=0}^{x-2}\left(\left(\frac{8}{20}\right)^i\cdot\left(\frac{12}{20}\right)^{x-2-i}\right)$

K tomuto vzorci jsem došel tak, že hra musí skončit vytažením bílého a pak černého míče ( $\frac{12}{20}\cdot\frac{8}{20}$ ) a předtím nesmí být nikdy vytažený černý míč po bílém míči (tedy posledním dvěma tahům musí předcházet tažení 0 až n-2 černými míči, následované samými bílými míči do počtu).

$P[X=x]$ pak mohu dosadit do vzorce pro střední hodnotu:

$EX=\sum_{x=2}^{20} x\cdot P[X = x] = \sum_{x=2}^{20}\left(x\cdot \left(\frac{12}{20}\cdot\frac{8}{20}\cdot\sum_{i=0}^{x-2}\left(\left(\frac{8}{20}\right)^i\cdot\left(\frac{12}{20}\right)^{x-2-i}\right)\right) \right)$

Nenapadá mě však způsob, jak (kromě manuálního výpočtu) tuto sumu vyčíslit. Poradil by mi někdo, prosím?

Marian · 05. 06. 2017 04:41

↑ slender:

Statistice a pravděpodobnosti nerozumím, ale na dotaz sčítání dvojnásobné sumy se zdá být snadná odpověď. Vnitřní suma je součet konečného počtu členů geometrické posloupnosti. Až provedeš toto sečtení, postačí drobnější úpravy, vzorec (3) z této stránky a dále součet konečného počtu členů aritmetické posloupnosti. Ale to jsou relativně základní věci.

Jj · 05. 06. 2017 16:23

↑ slender:

Dobrý den. Možná zkusit řešit úlohu jinak - použít geometrické rozložení pravděpodobnosti ve tvaru

$P(X=x) = p(1-p)^{x-1}$ , x =1, 2, 3, ... ; p = pravd.úspěchu

které stanoví pravděpodobnost, že pro dosažení prvního úspěchu musíme provést právě x pokusů (včetně toho posledního, - tzn. prvního úspěšného). Střední hodnota počtu těchto pokusů $EX = \frac{1}{p}$ .

Po zahájení hry je zajímavý počet tahů do vytažení prvního bílého (včetně) = náhodná veličina X.

Ve druhé fázi hry je naopak zajímavý počet tahů do vytažení prvního černého (včetně) = náhodná veličina Y.

Tudíž by neměl být problém spočítat střední hodnoty náhodných veličin X, Y a střední hodnotu jejích součtu.

Aspoň předpokládám, že by úloha měla jít takto řešit.

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2017 18:49

Řešení sumy

#2 05. 06. 2017 04:41

Re: Řešení sumy

#3 05. 06. 2017 16:23

Re: Řešení sumy

Zápatí