Matematické Fórum

petrk · 12. 05. 2009 21:01

Drát jehož, délka je a cm, rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů kruhu a čtverce,
jejichž obvody jsou vymodelovány z těchto dvou části drátu, byl co nejmenší

Sbírka odkazů k úloze: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=280646#p280646

Kondr · 12. 05. 2009 21:25

Délku jedné části označíme x, vyjádříme součet obsahů jako funkci x, zderivujeme tuto funkci a výsledek položíme roven nule, najdeme tak stacionární bod(y). Minimum pak bude buď ce stacionárním bodě nebo v krajních bodech intervalu, na kterém minimum hledáme (v našem případě od 0 do a).

Chrpa · 12. 05. 2009 21:56 — Editoval Chrpa (16. 04. 2010 14:25)

↑ petrk:
Označme:
x - délka pro čtverec strana čtverce bude $\frac x4$
a - x - obvod kruhu
$a-x=2\pi r\nlr=\frac{a-x}{2\pi}$
Pak musí platit:
$\frac{x^2}{16}+\pi\left(\frac{a-x}{2\pi}\right)^2\,\rightarrow\,\rm{min}\nl\frac{4\pi x^2+ 16a^2-32a x+16 x^2}{64\pi}\,\rightarrow\,min$ derivujeme dle x a položíme rovno nule.
$\frac{8\pi x-32a+32x}{64\pi}=0\,\Rightarrow\nlx=\frac{4a}{\pi+4}\,\approx\,\textrm{56% a}$
$a-x=\frac{\pi a}{\pi+4}\,\approx\,\textrm{44% a}$
$S{min}=\frac{a^2}{(\pi+4)^2}+\frac{\pi a^2}{4(\pi+4)^2}=\frac{a^2}{4(\pi+4)}$
Závěr je tento:
Délku musíme rozdělit takto:
56 % délky oddělíme pro čtverec
44 % délky na kruh

Matematické Fórum

#1 12. 05. 2009 21:01

Slovní úloha - užití derivací (rozdělení drátu na díly)

#2 12. 05. 2009 21:25

Re: Slovní úloha - užití derivací (rozdělení drátu na díly)

#3 12. 05. 2009 21:56 — Editoval Chrpa (16. 04. 2010 14:25)

Re: Slovní úloha - užití derivací (rozdělení drátu na díly)

Zápatí