Matematické Fórum

stereo-total-music · 10. 06. 2017 10:42

Mějme definované polární souřadnice a kulovou plochu v prostoru jako na tomto obrázku:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-06/82942_kulova-plocha.jpg

Povrch kulové plochy by měl být roven osminásobku povrchu osminy kulové plochy, která je definována následovně:
$r=R$
$\psi \in \langle0,\frac{\pi }{2}\rangle$
$\varphi \in \langle0,\frac{\pi }{2}\rangle$

Povrch $A$ takové osminy kulové plochy je podle mě součet infinitezimálních povrchů $R^{2}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot d\varphi$ přes $\varphi \in \langle0,\frac{\pi }{2}\rangle$ :
$A=\int_{\varphi =0}^{\varphi =\frac{\pi }{2}}(\int_{\Psi =0}^{\Psi =\frac{\pi }{2}}R\cdot d\Psi) \cdot R\cdot d\varphi =\frac{\pi ^{2}}{4}\cdot R^{2}$
což je však $\pi$ krát větší než její skutečný povrch. Kde dělám chybu?

misaH · 10. 06. 2017 11:05 — Editoval misaH (10. 06. 2017 11:06)

↑ stereo-total-music:

No - neviem.

Povrch gule s polomerom R je $4\pi R^2$ .

Alebo nie?

stereo-total-music · 10. 06. 2017 11:08

No ano, to je $\pi$ krát méně než můj výsledek.

Jj · 10. 06. 2017 11:43

↑ stereo-total-music:

Zdravím.

To bude tím, že uvedený vztah není infinitezimálním elementem plochy sféry v použitých souřadnicích.

misaH · 10. 06. 2017 11:57 — Editoval misaH (10. 06. 2017 12:03)

↑ stereo-total-music:

Tak neviem

$\frac {4\pi}{8}=\frac {\pi}{2}$ .

Ten rozdiel je iný ako píšeš.

O polárnych súradniciach neviem nič, ale asi tá úvaha o spôsobe výpočtu nebude dobre...

U teba vystupuje ako keby druhá mocnina časti s pí toho čo malo vyjsť...

stereo-total-music

↑ Jj:
Máte pravdu, při součtu povrchu takových elementů je celkový povrch větší než povrch kulové plochy :)

Povrch plochy polokoule vznikne součtem povrchů elementárních obdélníků se stranami:
$a=R\cdot \sin (\frac{\pi }{2}-\psi )$
$db=R\cdot d\psi$
přes $\psi =\langle0,\frac{\pi }{2}\rangle$

z čehož vyjde povrch kulové plochy $4\pi R^{2}$ .

Děkuji za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2017 10:42

Odvození povrchu kulové plochy pomocí polárních souřadnic

#2 10. 06. 2017 11:05 — Editoval misaH (10. 06. 2017 11:06)

Re: Odvození povrchu kulové plochy pomocí polárních souřadnic

#3 10. 06. 2017 11:08

Re: Odvození povrchu kulové plochy pomocí polárních souřadnic

#4 10. 06. 2017 11:43

Re: Odvození povrchu kulové plochy pomocí polárních souřadnic

#5 10. 06. 2017 11:57 — Editoval misaH (10. 06. 2017 12:03)

Re: Odvození povrchu kulové plochy pomocí polárních souřadnic

#6 10. 06. 2017 12:21 — Editoval Ferdish (10. 06. 2017 12:21) Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish.

#7 10. 06. 2017 12:42 — Editoval stereo-total-music (10. 06. 2017 13:46)

Re: Odvození povrchu kulové plochy pomocí polárních souřadnic

Zápatí