Matematické Fórum

check_drummer

Ahoj,
dokažte, že pro funkci f (mající na uzavřeném intervalu I všude derivaci) platí pro každé d, že:
jestliže má funkce f na intervalu I omezenou derivaci hodnotou d ( $|f'(x)|\leq d$ ), tak potom je $\int_{I}{f(x) \cdot dx} \leq d/2$
a nebo pokud je $\int_{I}(f(x) \cdot dx)\leq d/2$ , tak musí mít f na I derivaci omezenu hodnotou d.

Edit: Upravil jsem formulaci vzhledem k d.

Pavel · 14. 06. 2017 00:45

↑ check_drummer:

Moc nerozumím tomu, proč by to mělo platit.

Funkce $f(x)=\sin x$ má omezenou derivaci, tj. $|(\sin x)'|\leq 1$ , na intervalu $I=\langle 0,\pi\rangle$ . Že by platilo $\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm dx\leq\frac 12$ , o tom pochybuji.

Pavel · 14. 06. 2017 00:52 — Editoval Pavel (14. 06. 2017 00:52)

↑ check_drummer:

Jistě platí $\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm dx\leq \frac 12\cdot \frac 1{100}$ . Pak by to znamenalo, že funkce $f(x)=\sin x$ má na intervalu $\langle 0,2\pi\rangle$ omezenou derivaci hodnotou $\frac 1{100}$ .

check_drummer

↑ Pavel:
Abych byl přesnější - to d je stejné pro obě implikace... tj. celé tvrzení by mělo začínat "pro každé d..."
Takže pokud máš nějaký příklad, kde si myslíš, že to neplatí, uveď prosím funkci f a hodnotu d. Např. V prvním případě to platí, protože $\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm dx\leq\frac 12$ neplatí a proto je druhá implikace triviálně pravdivá.

Stýv · 14. 06. 2017 16:46

Takže vlastně dokazujeme výrok (A=>B v B=A)?

check_drummer · 14. 06. 2017 17:37

↑ Stýv:
A je to prozrazený... :-(

Pavel · 14. 06. 2017 22:52

↑ check_drummer:

Ještě poznámka, to $dx$ označuje součin konstanty $d$ a $x$ nebo diferenciál $\mathrm dx$ , který je součástí integrálu? Je to docela matoucí.