Matematické Fórum

↑ Flaky:
Sice už jsem to neviděl dlouho, ale řekl bych, že generování plyne celkem přímo z definice direktního součtu. Báze ale musí splňovat ještě něco, totiž být LN. O tom nemluvíš - podařilo se ti zdůvodnit, že vzniklý soubor vektorů je LN?

↑ Flaky:
Ok, pokud můžeš použít tu větu o dimenzi, je to pravda. Prostor V má dimenzi dim U1+dim U2, takže každá jeho báze obsahuje právě tolik vektorů.

Tím se ovšem důkaz opravdu redukuje na dokázání, že soubor generuje, což je podle mně celkem triviální. Každý vektor z V jde napsat jako součet nějakého vektoru z U1 a nějakého vektoru z U2 (V=U1+U2). A každý vektor z U1 a každý vektor z U2 jde napsat jako......


Edit: Když si projdeš důkaz té věty o dimenzi, tohle v něm určitě někde bude.

↑ Flaky:
To bychom museli dokázat, že soubor je LN. Takže vezmeme lineární kombinaci rovnou nulovému vektoru (tuhle rovnost si napiš) a předpokládáme, že alespoň jeden koeficient je nenulový. Pak už není velký problém dostat se do sporu s definicí direktního součtu.

↑ Flaky:
Zrovna v tomhle žádný spor nevidím. Ok, tak jo, jeden jde vyjádřit jako lineární kombinace ostatních. Ovšem z těch ostatních je pořád každý buď v U1 nebo v U2, takže ten rozklad co píšeš určitě půjde najít.

↑ Flaky:
Teda takhle, ono samozřejmě záleží, jak přesně máte direktní součet definován a jaká tvrzení máš nebo nemáš k dispozici. To je  velmi podstatné pro rozhodování, jestli už je důkaz hotový, případně které kroky musíš zdůvodňovat, a které opíráš o nějaká už dokázaná tvrzení. Je-li definice dir. součtu taková, že každý vektor z V jde jednoznačně vyjádřit jako součet dvou vektorů z U1 a U2, tak je to jiné, než když to někdo definuje jako součet podprostorů, v jejichž průniku je pouze nulový vektor.

Pokud jsi ten první případ, tak je tvůj postup v pořádku (nakonec ty definice jsou ekvivalentní, takže nakonec bys dostal spor s oběma). Ale je potřeba to dovést do konce, tedy skutečně ta dvě vyjádření napsat a zdůvodnit, že jsou různá. V tom cos napsal je potřeba toho dost domýšlet - proto jsem psal, že tam spor nevidím.