Matematické Fórum

↑ hawklike:
Co je to báze daného vektorového prostoru?
Z definice je báze daného VP:
1) množina vektorů generující celý daný VP
2) tato množina vektorů musí být LN
musí platit 1) a 2) zároveň

Víš, že VP ze zadání je tvořen vektory: x1=(1,1,1,1), x2=(2,0,2,1), x3=(1,2,1,2), x4=(0,0,0,1). Tudíž máš soubor který tvoří daný prostor (splněn bod 1). Buď můžeš zkusit vyšetřit lineární závislost/nezávislost celého souboru... pokud bude soubor vektorů LN, tak si našel bázi (splněn bod 2) a nemusíš pokračovat, pokud však bude LZ, tak to znamená, že nějaký vektor/nějaké vektory je/jsou v souboru "navíc"(tj. dá se lineárně nakombinovat z ostatních vektorů). Jak takový vektor najít? Naivní přístup by byl vycházet přímo z tvrzení, že takový vektor se dá lineárně nakombinovat z ostatních vektorů (např. chci zjistit jestli x1 je kombinací ostatních... v překladu existují takové koeficienty a,b,c že x1 = a * x2 + b * x3 + c * x4). Tohle budeš muset vyšetřit pro x1 až x4 (řešit 4 soustavy rovnic).
Chytřejší přístup je využít znalost hodnosti matice A. Definice: hod(A) je dimenze lineárního obalu souboru řádků matice A (nebo-li počet LN řádků matice A), což přesně potřebujeme, protože hledáme LN vektory! Takže postup je napsat si vektory ze zadání do řádků naší vlastní matice A a provést GEM (nenulové řádky matice A budou tedy báze VP ze zadání příkladu, opět viz porovnání definice hodnosti a báze). Důležité je si uvědomit, že GEM nemění hodnost matice, takže naše kroky jsou validní. Ještě takový detail s GEMEM a hodností A... touhle metodou dostaneš prvky báze (nenulové řádky matice A), takhle získaná báze, ale bude pravděpodobně naprosto odlišná té ze zadání. Pokud bys chtěl bázi sestavit z prvků ze zadání, musel bys GEMOVAT bez použití prohazování řádků (promíchali by se ti totiž řádky a ty bys nevěděl, který koresponduje s kterým). Pokud bys měl například vektory (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0)

1 0 0 0       ->GEM->     1 0 0 0
0 1 0 0       ->GEM->     0 1 0 0
0 0 1 0       ->GEM->     0 0 1 0
1 0 1 0       ->GEM->     0 0 0 0

a GEMOVAL bez použití prohazování řádků, tak bys věděl, že 1 0 1 0 je v souboru navíc (dá se ostatními řádky "vynulovat", tj. lineárně nakombinovat z ostatních), takže prvky báze by byly pouze první tři řádky.
Pokud to až sem dává smysl, tak nalézt nějaký vektor, který neleží ve VP už bude jen formalitka (dá se i odhadnout, ale nezapomeň na ověření).

Co se týká nalezení dané matice A, aby řešením homogenní soustavy A*x = 0 bylo P. Poradím zatím jen tohle:
A^T rozuměj transpozici matice A.
A*x = 0                                              (mám zadanou matici A a hledám k ní množinu řešení x)
(A*x)^T = 0^T <=> x^T * A^T = 0^T  (mám zadanou matici x^T a k ní hledám množinu řešení A^T)
Ačkoliv se to zdá trochu děsivé, tak jediné co dělám je, že řádky píšu do sloupců. V obou rovnostích A*x = 0,  (A*x)^T = 0^T mezi sebou porovnávám stále stejné prvky matic!
Důležité je si rozmyslet co bude nakonec náš výsledek (jestli nějaké řádky anebo sloupce).