Matematické Fórum

liamlim · 14. 06. 2017 12:28

Zdravím.

Tak mě napadla určitá věc. Vím, že je svět množin vybudován za pomoci symbolu $\in$ . Mě by zajímalo, jestli by nebylo možné postavit axiomy funkční teorie množin bez tohoto symbolu. Řekněme, že máme následujíći axiomy:
$\langle a:b\rangle = \langle b : a\rangle$
$\langle \langle a : a\rangle:b\rangle = \langle a : b\rangle$
$\langle\langle a:b\rangle:c\rangle = \langle a : \langle b:c\rangle\rangle$

Pak je možno definovat $a\in b \Leftrightarrow (\exists c)(b = \langle a : c\rangle)$

Množinu bych pak definoval jako $\{a\}$ pro nějaký seznam $a$ a operátor $\in$ bych na množiny rozšířil způsobem $\{a\}\in \{b\} \Leftrightarrow \{a\}\in b$ . Symbol podmnožiny bych opak definoval jednoduše způsobem $\{a\}\subseteq \{b\}\Leftrightarrow a \in b$ .

Prostě a jednoduše by tím základním stavebním kamenem byly seznamy a množiny by byly jakousi obálkou obsahující vždy právě jeden seznam.

Ono o co mi jde... Není známý nějaký způsob ještě základnějších struktur, ze kterých by bylo třeba možné teorii množin vybudovat? Konkrétně u seznamů třeba nehrozí, že by seznam obsahoval sám sebe, proto by nehrozily některé paradoxy, které se musely v teorii množin řešit.

pozn: nic z toho co jsem napsal jsem si důkladně nepromýšlel. ty axiomy pro seznamy jsem napsal tak, aby byly co nejjednodušší (vždy máme seznam o dvou seznamech) a aby splňovaly vše, co žádáme od vnitřku množin. Tedy že obsahuje každý prvek jednou, že nezáleží na pořadí. Ta vnitřní asociativita je nutná taky a umožní nepsat $\langle a : \langle b : c\rangle \rangle$ ale $\langle a : b : c \rangle$

check_drummer · 14. 06. 2017 17:36

↑ liamlim:
Ahoj,
ale pak by podle definice nebylo $a\in \langle b: \langle a:c \rangle \rangle$ .
A nejsem si jist, zda to rozšíření na množiny a podmnožiny je správně.

liamlim

↑ check_drummer:

Dle 1 by bylo:
$\langle b: \langle a:c \rangle \rangle = \langle \langle a:c\rangle : b \rangle$ . No a podle té vniřní asociativity by bylo $\langle \langle a:c\rangle : b \rangle = \langle a : \langle c : b\rangle \rangle$ , takže by bylo $a\in\langle b: \langle a:c \rangle \rangle$

Ono obecně jsou ta pravidla psána tak, aby seznam byl v podstatě lineární struktura, seznam hodnot a přitom bylo vše správně formálně definované. Existuje mnoho způsobů, jak zapsat například $\langle a : b : c : d : e : f\rangle$ , ve všech ale bude možné zbavit se duplicit a dostat každou z hodnot na první místo.

check_drummer · 15. 06. 2017 00:24

↑ liamlim:
Já to myslel spíš formálně. Nejsem si jist, zda lze formálně definovat, že se dva syntakticky odlišné prvky rovnají, to bude odporovat axiomům pro rovnost. Spíš se to dělá přes nějakou faktorizaci.

Ale není mi jasná motivace tohoto:
$\{a\}\in \{b\} \Leftrightarrow \{a\}\in b$
To znamená, že chceš zakázat vnořování množin do množin?

nikoma · 15. 06. 2017 21:41

Teoriím množin, které jsou založené na $\in$ se někdy říká materiální, možná tě tedy budou zajímat strukturální teorie množin, které nejsou založené na $\in$ .

https://ncatlab.org/nlab/show/structural+set+theory

https://arxiv.org/abs/1212.6543

liamlim · 16. 06. 2017 11:43

↑ check_drummer:

Právě, že nechci. $a$ i $b$ jsou seznamy. Proto pokud je $b$ například $\langle\{a\}:\{c\}\rangle$ , pak $\{a\} \in b$ . Ale asi to je jedno. Ty mé definice byly jen pokusem o naznačení toho, jak že vlastně otázku myslím.

Měli jsme ve škole jak výrokovou logiku tak teorii množin. A prostě mi připadá, že každá z nich využívá té druhé a někdy jsme se točili v kruhu. Tzn s pomocí množin jsme vyvodili něco v logice, zároveň se ale daný objekt teorie množin vyskytoval v důkazu v logice. To se mi nelíbí, ale nechtěl jsem to řešit, protože to byly dva zcela na sobě nezávislé předměty. Chtěl bych vidět, jak by bylo možné kompletní základy matiky vybudovat opravdu správně, aby k těmto cyklickým důkazům logiky a teorie mnoźin nedocházelo.

check_drummer · 17. 06. 2017 23:02

↑ liamlim:
Tím bys ale nemohl popsat systémy množin, např. {{1,2},{1,3}} a {1,2,3} by tedy bylo u tebe totéž. A množinu bys ztotožnil s její potenční množinou.

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2017 12:28

teorie množin bez symbolu náležení

#2 14. 06. 2017 17:36

Re: teorie množin bez symbolu náležení

#3 14. 06. 2017 17:37 — Editoval liamlim (14. 06. 2017 17:44)

Re: teorie množin bez symbolu náležení

#4 15. 06. 2017 00:24

Re: teorie množin bez symbolu náležení

#5 15. 06. 2017 21:41

Re: teorie množin bez symbolu náležení

#6 16. 06. 2017 11:36 Příspěvek uživatele liamlim byl skryt uživatelem liamlim. Důvod: chyba. zkusím opravit

#7 16. 06. 2017 11:43

Re: teorie množin bez symbolu náležení

#8 17. 06. 2017 23:02

Re: teorie množin bez symbolu náležení

Zápatí