Matematické Fórum

jendula11 · 13. 05. 2009 14:04

Zdravím, narazil jsem na takový jeden pěkný příklad, kdyby se někomu chtělo dokázat:
$\lim_{n \to \infty}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+....+\frac{n}{n^2+n^2})=\frac{\pi}{4}$

Rumburak

Omlouvám se, ale zatím neumím skrývat text.
Připadá mi, že jde o numerický výpočet integrálu $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2}\,\text{d}x$ .

Pavel · 13. 05. 2009 15:01 — Editoval Pavel (13. 05. 2009 15:02)

↑ jendula11:

Je to vlastně definice Riemmanova integrálu pomocí vpisování obdélníků do grafu funkc f(x). Stačí si představit interval $<0,1>$ a na něm ekvidistantní dělení $0,\frac 1n,\frac 2n,\frac 3n,\dots,\frac {n-1}{n}, 1>$ a funkci $f(x)=\frac 1{1+x^2}$ . Obsah vepsaného obdélníku do grafu této funkce na intervalu $<0,1/n>$ je $\frac{n}{1+n^2}$ , obsah vepsaného obdélníku na intervalu $<1/n,2/n>$ je $\frac{n}{4+n^2}$ , atd. Čím větší je n, tím jemnější je dělení intervalu $<0,1>$ a tím víc se blíží obsahy všech těchto obdélníku hodnotě určitého integrálu

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2}\,\text{d}x=\frac{\pi}{4}$ .

Rumburak · 13. 05. 2009 15:07

↑ Pavel:
Ano, přesně tak. Příspěvek mne poučil, jak vymýšlet zajímavé příklady na limity.

Marian · 14. 05. 2009 15:32

↑ Rumburak:
Děmidovičova sbírka úloh z matematické analýzy disponuje několika podobnými úlohami, ve kterých se používá prezentovaná taktika s definicí Riemannova integrálu. Doporučuji prostudovat (je u toho někdy skutečně legrace).

Rumburak · 14. 05. 2009 15:40

↑ Marian: Děkuji za doporučení. Děmidovičovu sbírku mám, jako nepříliš pilný student jsem skončil na její asitak
20. stránce a určitě by mi prospělo se k ní vrátit.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2009 14:04

důkaz

#2 13. 05. 2009 14:33 — Editoval Rumburak (13. 05. 2009 14:34)

Re: důkaz

#3 13. 05. 2009 15:01 — Editoval Pavel (13. 05. 2009 15:02)

Re: důkaz

#4 13. 05. 2009 15:07

Re: důkaz

#5 14. 05. 2009 15:32

Re: důkaz

#6 14. 05. 2009 15:40

Re: důkaz

Zápatí