Matematické Fórum

stereo-total-music

Mějme výraz:
$v_{x}\cdot \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}+v_{y}\cdot \frac{\partial \vec{v}}{\partial y}+v_{z}\cdot \frac{\partial \vec{v}}{\partial z}$

Tento výraz se rovná skalárnímu součinu těchto dvou vektorů:
$v_{x}\cdot \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}+v_{y}\cdot \frac{\partial \vec{v}}{\partial y}+v_{z}\cdot \frac{\partial \vec{v}}{\partial z}=(v_{x},v_{y},v_{z})\cdot \left ( \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}, \frac{\partial \vec{v}}{\partial y} , \frac{\partial \vec{v}}{\partial z} \right )$

Jak se nazývá operátor, jehož aplikací na vektor $\vec{v}$ dostanu vektor $\left ( \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}, \frac{\partial \vec{v}}{\partial y} , \frac{\partial \vec{v}}{\partial z} \right )$ ?
Gradient to není, protože gradient je definován pouze pro skalární pole.

Edit: správně se $\left ( \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}, \frac{\partial \vec{v}}{\partial y} , \frac{\partial \vec{v}}{\partial z} \right )$ nazývá spíš tenzor.

KennyMcCormick · 21. 06. 2017 17:28

Jakobián. https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_ … eterminant :)

stereo-total-music · 21. 06. 2017 22:21

Díky :)

Xellos · 21. 06. 2017 23:22

Jakobian nie je operator, ale uz ta matica $(\partial_x \vec{v}, \partial_y \vec{v}, \partial_z \vec{v})$ . Operator je gradient.

KennyMcCormick · 22. 06. 2017 16:51

Nemohl by rozdíl mezi "Jakobiánem" a "Jakobiánem funkce" být stejný jako rozdíl mezi "gradientem" a "gradientem funkce"?

Operator je gradient.

Není gradient definovaný jenom pro skalární funkce?

Brano · 22. 06. 2017 20:01 — Editoval Brano (22. 06. 2017 20:02)

↑ KennyMcCormick:
ked ho definujes pre vektorove funkcie tak bude definovany aj pre vektorove funkcie
matematika je flexibilna

Ferdish · 22. 06. 2017 21:49

Vo všeobecnosti, n-rozmerný vektorový operátor definovaný ako $\left ( \frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2} ,\ldots ,\frac{\partial}{\partial x_n}\right )$ sa nazýva nabla (v anglosaských krajinách aj del) a označuje sa rovnomenným symbolom, ktorý pripomína prevrátené veľké písmeno delta: $\nabla$ .
V n-rozmernom priestore $\textbf{R}^{n}$ vytvára nabla všetky parciálne deriváce funkcie $f(x_1,\ldots ,x_n)$ podľa $\textbf{R}$ , čo je presne vzaté gradient funkcie f.
A je jedno, či je to skalárna funkcia, alebo vektorová, alebo nejaký tenzor vyššieho rádu - produkty aplikácie tohto operátora majú svoje "zaužité" názvy. Samotný názov operátora je NABLA.

KennyMcCormick · 23. 06. 2017 15:28

↑ Brano:
OK, díky. :)

Xellos · 23. 06. 2017 18:14

↑ Ferdish:
Symbol nabla sa pouziva aj pre divergenciu a rotaciu.

KennyMcCormick napsal(a):
Nemohl by rozdíl mezi "Jakobiánem" a "Jakobiánem funkce" být stejný jako rozdíl mezi "gradientem" a "gradientem funkce"?

Mohol, ale proste sa to tak nepouziva. Jakobian = matica resp. jej determinant, stretavame sa s nimi typicky pri zobrazeniach $\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^m$ teda ako s "Jakobianom vektorovej funkcie" (aj 1D vektor je vektor). Aj "Jakobian" aj "Jakobian funkcie" sa typicky povazuju za tento konkretny matematicky objekt, AFAIK.

Ak zasa povies "gradient funkcie", urcujes prvky z akeho priestoru operatoru gradient davame. Ak povies aj akej konkretnej funkcie resp. pouzijes $\nabla f$ v takom kontexte ze to bude jasne, bude to vysledok aplikacie operatoru na danu funkciu.

KennyMcCormick napsal(a):
Operator je gradient.
Není gradient definovaný jenom pro skalární funkce?

Nie, je to vseobecne tenzorovy operator, mozes ho aplikovat na lubovolny tenzor (a mozno aj daco dalsie). Kludne mozes mat gradient Riemannovho tenzoru (1024 zlozkovy).

Ferdish

↑ Xellos:
Áno, ale stále je to použitie jedného a toho istého operátora parciálnych derivácií, len spôsob aplikácie sa líši.
↑ stereo-total-music: hľadá názov operátora, a to je nabla. Gradient, divergencia, rotácia - to všetko sú názvy operácii, ktoré pomocou operátora nabla možno vykonať, záleží od spôsobu akým je nabla operátor na daný funkčný predpis aplikovaný.

Brano · 26. 06. 2017 13:00 — Editoval Brano (26. 06. 2017 13:04)

↑ Ferdish:
tu mate rozdielne chapanie slova "operator" ktory sa pouziva v podstate v dvoch vyznamoch

1) zobrazenie (obvykle z nejakeho abstraktneho priestoru funkcii do nejakeho ineho priestoru funkcii)
2) symbol pre zobrazenie z 1)

formalne sa operator obvykle definuje ako 1) ale pouziva sa aj podla 2) tak ako ty hovoris, len si treba uvedomit ze su do dve v podstate rozdielne veci
v tomto kontexte sa hodi prave citacia na encyklopediu:-)

a teda pre ujasnenie "nabla" je symbol, resp. meno symbolu $\nabla$ a "divergencia, rotacia, gradient" su zobrazenia s prislusnymi symbolmi $\mathrm{div\ rot\ grad}$ alebo inymi symbolmi $\nabla\cdot,\ \nabla\times,\ \nabla$

Matematické Fórum

#1 21. 06. 2017 13:35 — Editoval stereo-total-music (21. 06. 2017 13:37)

Definice diferenciálního operátoru

#2 21. 06. 2017 17:28

Re: Definice diferenciálního operátoru

#3 21. 06. 2017 22:21

Re: Definice diferenciálního operátoru

#4 21. 06. 2017 23:22

Re: Definice diferenciálního operátoru

#5 22. 06. 2017 16:51

Re: Definice diferenciálního operátoru

#6 22. 06. 2017 20:01 — Editoval Brano (22. 06. 2017 20:02)

Re: Definice diferenciálního operátoru

#7 22. 06. 2017 21:49

Re: Definice diferenciálního operátoru

#8 23. 06. 2017 15:28

Re: Definice diferenciálního operátoru

#9 23. 06. 2017 18:14

Re: Definice diferenciálního operátoru

KennyMcCormick napsal(a):

KennyMcCormick napsal(a):

#10 26. 06. 2017 11:12 — Editoval Ferdish (26. 06. 2017 11:18)

Re: Definice diferenciálního operátoru

#11 26. 06. 2017 13:00 — Editoval Brano (26. 06. 2017 13:04)

Re: Definice diferenciálního operátoru

Zápatí