Matematické Fórum

aniuce · 12. 07. 2017 14:11

Dobrý den,
prosím o radu, jak dokázat že:
podíl dvou kladných čísel je kladné číslo, podíl dvou záporných čísel je kladné číslo, podíl kladného a záporného čísla je záporné číslo.
Děkuji
Anna

vlado_bb · 12. 07. 2017 14:38

↑ aniuce: Na zakladnu skolu pomerne prekvapujuca uloha. Co je mozne pouzivat pri dokaze?

misaH · 12. 07. 2017 15:39

↑ vlado_bb:

No - tipujem, že táto dáma študuje na VŠ učiteľskú matematiku...

sjaustirni · 12. 07. 2017 17:54

↑ aniuce:
Asi najčastejší spôsob je uvedomiť si, že delenie sa dá napísať pomocou násobenia a potom použiť dôkaz sporom.

misaH · 12. 07. 2017 19:16

↑ aniuce:

No - ak ide o to, ako to vysvetliť žiakom ZŠ, daj vedieť.

Napíšem ti, ako to učím ja.

aniuce · 17. 07. 2017 14:29

mě jde o to, jak to dokázat, měli jsme si vybrat z učebnice ZŠ něco a dokázat to, takže je jedno jak složitý důkaz bude, nemusí být jen pro žáky ZŠ. jen mě nic nenapadá, jak by to šlo, jen pro zajímavost, jestli někdo dá dohromady. díky

sjaustirni · 17. 07. 2017 16:49

sjaustirni napsal(a):
↑ aniuce:
Asi najčastejší spôsob je uvedomiť si, že delenie sa dá napísať pomocou násobenia a potom použiť dôkaz sporom.

aniuce · 21. 07. 2017 10:52

Dobre, děkuji, zkusím

mracek · 01. 08. 2017 13:21

Asi bych to taky delal nasobenim, vytykanim, pripadne leva prava strana.
L = -6 / -2
P = x
L = P
-6 / -2 = x
-6 = -2 * x | *(-1) L i P
6 = 2 * x

uplne vidim, jak resi otaceni znamenka :)
- (1 - 5) = ?

vlado_bb · 01. 08. 2017 14:25

↑ mracek: Ako si dostal z predposledneho riadku posledny?

aniuce · 01. 08. 2017 15:21

díky

Rumburak · 01. 08. 2017 16:10

↑ aniuce:

Ahoj.

Podrobný důkaz ovšem závisí na tom, jakým způsobem je daný číselný obor
spolu s aritmetickými operací a uspořádáním vybudován, což je celkem dost práce.

Také je ovšem možno zavést ten který číselný obor axiomaticky a pak to
bude poněkud jiné ...

mracek · 02. 08. 2017 07:24

↑ vlado_bb:

-6 / -2 = x
------------
Rovnice to je, pokud se L = P (leva strana rovna prava)
L = -6 / -2
P = x
L = P
A operace, ktere nad rovnici muzes delat je treba nasobeni obou stran -1. Ve skole jsme napravo dali caru, napsali si tam poznamku, ze nasobime -1 a na dalsim radku to pronasobili.
-6 = -2 * x | *(-1)
L * (-1) = P * (-1)
-6 * (-1) = (-2 * x) * (-1)
Pak je treba si davat pozor na scitani a roznasobit obe cisla.
Ale nevim, jestli to neni slozitejsi pro deti :)
Nektere veci je treba brat proste jako fakt, jakoze se cislo 1 pise 1, cisla 3 5 6 9 jsou si vzhledove podobna a je treba si davat pozor a nesplest to pri cteni :)

Kazdopadne, psat si poznamky, je dobre, moc mi to v matice pomohlo, vzdycky jsem mel za 2. Hodne mi pomahalo psat si postup krok za krokum pri operaci s krivkami (polynomy, kruznice, elipsy, vektory)

vlado_bb · 02. 08. 2017 07:43

↑ mracek: Ja len ze ak mame dokazat, za podiel dvoch zapornych cisel je kladne (alebo sucin, co je to iste), tak sotva mozeme pouzit, ze $(-1)*(-6)=6$ . Preto som sa hned na zaciatku pytal zadavatelky, co je mozne pouzit pri dokaze. Odpoved zatial neprisla.

Rumburak · 03. 08. 2017 12:15

↑ mracek:

Každopádně je nutné ujasnit si, co o té číselné struktuře již víme (či máme vědět),
Teprve na tomto základě je možno stavět důkaz nějakého dalšího tvrzení.

Co tedy už je Ti známo o číslených operacích a relaci uspořádání ? Napiš to sem a uvidíme.

Viz kolega ↑ vlado_bb:.

vanok · 03. 08. 2017 13:36 — Editoval vanok (03. 08. 2017 14:02)

Pozdravujem,
Poznamka.
Na ZS skole sa niekedy pouzival takyto postup. ( pisem schematicky)

Nech x, y su dve kladne cisla.
Vieme, ze (-x) × 0 = 0
Co da: (-x) × ( y – y ) = 0.
A tak: (-x) × y – x × (-y) = 0.
A potom: (-x) × y + (-x)×(-y) = 0.
A potom: (-xy) + (-x)×(-y) = 0.
A na koniec: (-x)×(-y) = xy
.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

mracek · 03. 08. 2017 15:38

Jeste by se to dalo napsat takto
-6 / -2
((-1) * 6) / ((-1) * 2)
(a * b) / (a * c)
a/a * b/c nebo
b/c * x/x a stejne cisla kratis na 1/1

vlado_bb · 03. 08. 2017 16:05

↑ mracek: Stale ale vyuzivas to, co chces dokazat.

mracek · 04. 08. 2017 09:18 — Editoval mracek (04. 08. 2017 09:24)

Tak, pak mne napada, snad jenom pouzit graf (nakreslit), pripadne scitani.
a + a = 2*a
3 + 3 = 6 - souhlas?
-3 + -3 = -6 - souhlas i s timto? pak...
2 * -3 = -6 - a kdyz to podelim -3
2 = -6 / -3

a + a = 2*a
a=+3: 3 + 3 = 6 = 2 * 3
a=-3: -3 + -3 = -6 = 2 * -3

graf

. . . 0
< - o - >

. . . . . 0
< - - - o - - - >
1 carka vlevo (zaporna) 3x, udela 3 carky vlevo
2 carka vpravo 3x udela 3 carky vpravo
A kdyby bylo -3x, tak se prevadi na opackou stranu.

aniuce · 21. 08. 2017 12:23

Děkuji za příspěvky
definiční obor jsou dle mého reálná čísla, až na jmenovatel, který nesmí být 0

Rumburak

↑ aniuce:

Dk., že podíl dvou kladných čísel je kladné číslo, by mohl vypadat třeba takto (sporem):

Nechť $a > 0, b > 0$ a předpokládejme, že $\frac {a}{b} \le 0$ . Existuje tedy $u \ge 0$
takové, že

$\frac {a}{b} + u = 0$ .

Když tuto rovnost vynásobíme číslem $b > 0$ , dostaneme

$b\cdot$\frac {a}{b} + u$ = b\cdot 0$

a dalšími úpravami

$b\cdot \frac {a}{b} + b \cdot u = 0$ ,
(*) $a + bu = 0$ .

Avšak čísla $a, b, u$ v poslední rovnosti mají splňovat (jak uvedeno výše) podmínky

$a > 0, b > 0 , u \ge 0$ ,

takže $bu \ge 0$ a tedy $a + bu \ge a > 0$ , čili $a + bu > 0$ , což je ve sporu s (*).

Obdobně se zbývajícími důkazy, při čemž lze využít, co už bylo dokázáno dříve.