Matematické Fórum

stereo-total-music · 12. 07. 2017 10:26

Mějme nějakou svislou rovinu o rozměrech $X\times Y$ , na kterou působí tlaková síla. Rovina se může otáčet podle pantu ve svislé hraně. Na rovinu působí celková tlaková síla $F$ a celkový moment síly $M$ . Tlak působící na rovinu se mění pouze ve svislém směru $y$ (nikoliv ve vodorovném směru $x$ ).

Chci odvodit, čemu se rovná poměr:
$\frac{M}{F}=\frac{\int_{A}^{}dM}{\int_{A}^{}dF}=\frac{\int_{A}^{}x\cdot dF}{\int_{A}^{}dF}$

Tento poměr by se měl rovnat vzdálenosti od pantu v polovině roviny $X/2$ . Ovšem nevím si rady s poměrem těchto integrálů. Ví si s tím někdo rady?

stereo-total-music

Lze jednoduše dokázat, že:
$\frac{M}{F}=\frac{x_{2}+x_{1}}{2}$
pro $p=konst$ , $p=a\cdot y+b$ a $p=a\cdot y^{2}+b\cdot y+c$ , a to i pro součty těchto funkcí (tj. $M=M_{1}(p=konst)+M_{2}(p=a\cdot y+b)$ apod.).

Skoro mi to přijde, jako kdyby toto platilo pro libovolnou funkci $p=f(y)$ . Nenašel jsem však žádný vzorec pro podíl dvou určitých integrálů:
$\frac{\int_{A}^{}x\cdot p(y)\,dA}{\int_{A}^{}p(y)\,dA}$
Existuje pro toto nějaký obecný vzorec?

LukasM · 12. 07. 2017 14:42 — Editoval LukasM (12. 07. 2017 14:46)

↑ stereo-total-music:
1. Neřekl bych, že na toto bude existovat obecný vzorec. Kdyby existoval, jistě by se objevoval v učebnicích při výpočtu polohy těžiště, kde se počítají podobné integrály a jejich poměr. A to jsem v žádné neviděl.

2. Řekl bych, že to opravdu platí pro libovolnou funkci, která je dostatečně rozumná na to, aby splnila předpoklady Fubiniovy věty. Pak to stačí napsat jako dvojnásobný integrál v x a y, přičemž ten v y dá stejný výsledek nahoře i dole. To je matematický důvod.

3. Fyzikální důvod spočívá v tom, že na každém "pásku" v pevně dané výšce je konstantní průběh tlaku, takže rameno momentu je vždy vzdálenost od osy do poloviny šířky. A to platí nezávisle na výšce, takže vysčítání přes všechny pásky už na tom nic nezmění (moment a síla jsou si úměrné).

Pokud někdo vidí chybu, opravte mně, prosím.

stereo-total-music · 12. 07. 2017 15:39

Platnost:
$\frac{\int_{A}^{}x\cdot p(y)\,dA}{\int_{A}^{}p(y)\,dA}=\frac{x_{2}-x_{1}}{2}$

tedy platí za předpokladu, že $p(y)$ není funkce $x$ .

LukasM · 12. 07. 2017 15:59

↑ stereo-total-music:
No, zápis $p(y)$ právě říká, že to funkce x není. Ale ano, jsem stejného názoru.

Matematické Fórum

#1 12. 07. 2017 10:26

Podíl dvou integrálů

#2 12. 07. 2017 13:21 — Editoval stereo-total-music (12. 07. 2017 13:22)

Re: Podíl dvou integrálů

#3 12. 07. 2017 14:42 — Editoval LukasM (12. 07. 2017 14:46)

Re: Podíl dvou integrálů

#4 12. 07. 2017 15:39

Re: Podíl dvou integrálů

#5 12. 07. 2017 15:59

Re: Podíl dvou integrálů

Zápatí