Matematické Fórum

ondatraMorska · 04. 08. 2017 09:38

Dobry den, jak se pocita teziste primky?

Dekuji

vlado_bb · 04. 08. 2017 09:42

↑ ondatraMorska: Co si pod tym pojmom predstavujes? Nieco ako stred priamky? :)

ondatraMorska · 04. 08. 2017 09:48

Rad bych zustal u terminu teziste.

vlado_bb · 04. 08. 2017 10:04

↑ ondatraMorska: Dobre. Takze - co to je?

ondatraMorska · 04. 08. 2017 10:10

https://cs.wikipedia.org/wiki/T%C4%9B%C … %A1t%C4%9B

vlado_bb

↑ ondatraMorska: Tam sa hovori o tazisku TELESA. Priamka nie je teleso. Takze este raz - co si predstavujes pod pojmom tazisko priamky?

ondatraMorska · 04. 08. 2017 10:23

Ja jen zaslechl v tramvaji debatu, kde se dva lidi dohadovali, jestli jde spocitat teziste primky. Tak jsem si rikal, ze tohle je dobre misto, kde to zjistit :)

vlado_bb · 04. 08. 2017 10:26

↑ ondatraMorska: Ano, nedefinovane pojmy su vdacnymi temami na diskusie :)

mracek · 04. 08. 2017 10:29

Teziste kruhu je ve stredu.
Teziste usecky je ve stredu.
Ale primka je nekonecna na obe strany. Bud je teziste vsude nebo nelze urcit.

misaH · 04. 08. 2017 13:11 — Editoval misaH (04. 08. 2017 13:12)

↑ mracek:

To je dôkaz?

Trojuholník má ťažisko, ale geometrický stred nie.

Rumburak

↑ ondatraMorska:
Ahoj.

Problém je složitější.

Pojem "těžiště" je odvozen z pojmu "tíha", což je jakási fyzikální veličina úzce související
s jinou fyzikální veličinou - hmotností. Uvažujeme-li nějaké fyzikální těleso, pak jeho těžiště
bude záviset nejen na samotném tvaru tohoto tělesa, ale i na tom, jak je v něm rozložena
hmota (prostřednictvím hustoty). Například koule vyrobená slepením dvou polokoulí, z nichž
jedna je z olova a druhá z hliníku, bude mít těžiště nikoliv ve svém středu, ale někde uvnitř
olověné polokoule, protože olovo má větší hustotu než hliník.

Pokud hovoříme o těžišti z pohledu ryze geometrického, pak to znamená, že daný geometický
útvar považujeme za fyzikální těleso vyrobené ze stejnorodého materiálu, jehož (nenulová)
hustota je ve všech bodech tohoto útvaru táž. Otázkou je, zda k tomu, aby geometrický
útvar měl těžiště, je nutno předpokládat jeho metrickou (tedy "vzdálenostní") omezenost.
Tvrdím, že nikoliv:

V rovině $\varrho$ opatřené kartéskou souřadnicovou soustavou $Pxy$ uvažujme obrazec

(1) $M = \{[x,y] \in \varrho : |y| < \mathrm{e}^{-|x|}\}$ ,

kde $\mathrm{e}$ je základ přirozených logaritmů (jen kvůli snazším výpočtům, obecně bychom místo něj
mohli vzít libovolné číslo $c > 1$ ).

Tvrdím, že těžištěm obrazce (1) , přesto že je neomezený (obsahuje celou osu x) , je bod $P$ ,
tedy počátek souřadnicové soustavy.

Úvahy tohoto druhu se významným způsobem opírají o integrální počet, čímž v sekci SŠ nechci
strašit :-).

Přímka sama o sobě ovšem "geometrické" těžiště nemá, protože výpočet podle příslušného
vzorce vede k nedefinovanému výrazu.

Avšak nekonečný drát tvaru přímky s konečnou hmotností a s proměnlivou hustotou by za
určitých okolností těžiště mít mohl.

Příklad:
drátem by byla proložena osa x tak, že v bodě $x$ by hustota materiálu byla rovna $\mathrm{e}^{-|x|}$ .