Matematické Fórum

comantelix · 08. 08. 2017 10:40

Dobrý den, během svého samostudia integrálního počtu (s knihou Integrální počet I - V. Jarník) jsem narazil na zajímavou metodu rozkladu mnohočlenu na součin. Postup je následující:
(autor v knize definuje (X,Y) jako označení největšího společného dělitele)
1. Daný mnohočlen $F_{0}$
2. $F_{1}=(F_{0},F_{0}')$
$F_{2}=(F_{1},F_{1}')$
až
$F_{k}=(F_{k-1},F_{k-1}')$
3. $G_{k}=\frac{F_{k-1}}{F_{k}}$
4. $X_{k}=\frac{G_{k}}{G_{k+1}}$
5.Potom lze mnohočlen $F_{0}$ rozložit:
$F_{0}=X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{3}...X_{m}^{m}$
kdy
$G_{m+1}=1$
Principu rozumím, myslel jsem že pro nalezení největšího společného dělitele využiji Euklidův algoritmus.
V přiloženém cvičení je rozklad mnohočlenu:
$x^{9}-2x^{8}+5x^{7}-9x^{6}+10x^{5}-13x^{4}+12x^{3}-8x^{2}+8x-4$
(Správné řešení: $(x^{2}+x+1)(x^{2}+2)^{2}(x-1)^{3}$ )
Euklidův algoritmus se mi tady zdá příliš složitý (rychlý růst koeficientů) rád bych se zeptal zda existuje nějaký jiný způsob nalezení největšího spol. dělitele. Také mi zůstává vrtat hlavou zda je vůbec tento způsob rozkladu elektivní u takto dlouhých mnohočlenů.
Předem děkuji za odpovědi.

Rumburak

↑ comantelix:

Ahoj.

Zkušenosti s touto metodou nemám, odpovím pouze částečně na druhou otázku:
Mám za to, že u polynomu stupně 5 čí více není zaručeno, že je lze vždy rozložit
pomocí nějaké algebraické metody.

comantelix · 08. 08. 2017 16:13

↑ Rumburak:
Spíše přemýšlím nad tím jak najít největšího spol. dělitele mnohočlenu ze cvičení a jeho první derivace - je něco lepšího než Euklidův algoritmus?

Rumburak · 09. 08. 2017 11:59

↑ comantelix:
Tak to bohužel netuším.

Matematické Fórum

#1 08. 08. 2017 10:40

Metoda rozkladu mnohočlenu na součin

#2 08. 08. 2017 13:24 — Editoval Rumburak (08. 08. 2017 13:59)

Re: Metoda rozkladu mnohočlenu na součin

#3 08. 08. 2017 16:13

Re: Metoda rozkladu mnohočlenu na součin

#4 09. 08. 2017 11:59

Re: Metoda rozkladu mnohočlenu na součin

Zápatí