Matematické Fórum

Elisa · 20. 08. 2017 21:42 — Editoval Elisa (20. 08. 2017 21:44)

Dobrý den, jak se prosím vypočítá tento integrál Wolfram, emath? Děkuji

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-08/58285_%255E16CD19AA37FD0DD8B4B14E9D521EC97A74FF8DE150E151DA63%255Epimgpsh_fullsize_distr.jpg

jarrro · 20. 08. 2017 23:16

Vždy to môžeš lineárnou substitúciou preškálovať teda stačí skúmať integrál
$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x}$
Univerzálna je napr. Eulerova substitúcia
$\sqrt{x^2+1}=x+t\nl 1=2tx+t^2\nl x=\frac{1-t^2}{2t}\nl \mathrm{d}x=\frac{-4t^2+2$t^2-1$}{4t^2}=-\frac{t^2+1}{2t^2}$

Elisa · 20. 08. 2017 23:19

↑ jarrro:
Děkuji a tento integrál //forum.matweb.cz/upload3/img/2017-08/63970_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG bude $\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x}$ ?

jarrro · 20. 08. 2017 23:37

↑ Elisa:áno
lineárna substitúcia $t=\frac{x^{\prime}-x}{r}$
to prevedie na $\int{\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\mathrm{d}t}$

Elisa · 21. 08. 2017 07:50

↑ jarrro:
A jak se pak prosím dostanu k $\sqrt{x^2+1}=x+t\nl$ ? Děkuji

Al1 · 21. 08. 2017 09:23

↑ Elisa:

Zdravím,

$\sqrt{x^2+1}=x+t\nl$ je, jak píše↑ jarrro:, Eulerova substituce, např. zde

Elisa · 21. 08. 2017 11:55

A proč $\sqrt{x^2+1}=x+t\nl$ ? To x se pak neodečte ne?
$\int_{}^{} \frac{-\frac{t^2+1}{2t^2}}{x+t}dt$

vanok · 21. 08. 2017 13:58 — Editoval vanok (21. 08. 2017 14:12)

Ahoj ↑ Elisa:,
Prave to umozni po umocneni sa zbavit toho $x^2$

Inac tento integral $\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x}$ sa povazuje casto za "tabulkovy" a vieme, ze = $\ln ( x +\sqrt {1+x^2})+C$

Al1 · 21. 08. 2017 13:59

↑ Elisa:

kolega vyjádřil $x=\frac{1-t^2}{2t}\nl$ , teď je třeba ještě vyjádřit $\sqrt{x^2+1}=$ , tedy
$\sqrt{x^2+1}=\frac{1-t^2}{2t}+t$ , aby v integrandu byla jen proměnná t

Elisa · 22. 08. 2017 20:56

Tohle je špatně?
$\int_{}^{}\frac{1-t^2}{t(1+t^2)}dt$

Al1 · 22. 08. 2017 21:53

↑ Elisa:

$\sqrt{x^2+1}=\frac{1-t^2}{2t}+t=\frac{1+t^2}{2t}$ , potom
$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x}=\int{\frac{1}{\frac{1+t^2}{2t}}\cdot \frac{-(t^{2}+1)}{2t^2} \mathrm{d}t}=\int{\frac{-1}{t}\mathrm{d}t}=\ldots$

Elisa · 22. 08. 2017 21:57

↑ Al1:
Děkuji

Elisa · 23. 08. 2017 08:49

A jak se pak prosím ta substituce vrátí?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-08/70980_%255E27A8F6172A67B4D163C601160E67588BD533E7148BA8742AD5%255Epimgpsh_fullsize_distr.jpg

vanok · 23. 08. 2017 10:24 — Editoval vanok (23. 08. 2017 11:07)

Ahoj ↑ Elisa:,

Staci v poslednom vyraze v predposlednom riadku poznamenat, ze $\frac 1 {\sqrt {1+x^2}-x}= \sqrt {1+x^2}+x$ , staci?

Elisa · 23. 08. 2017 14:48

Děkuji a $\sqrt {1+x^2}$ se rovná $\sqrt{x'^2-2xx'+x^2+r^2}$ ?

vanok · 23. 08. 2017 15:42 — Editoval vanok (25. 08. 2017 07:47)

↑ Elisa:
Ked ↑ jarrro: ti toto napisal, iste mal na mysli, ze v citateli mas $dt=\frac 1r dx'$ a v menovateli $r \sqrt {1+t^2}$

Edit. Upresnenie.

Elisa · 25. 08. 2017 06:49

Takže ten původní integál se upraví na
$1/r\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x}$ ?

vanok · 25. 08. 2017 07:41 — Editoval vanok (25. 08. 2017 07:49)

Ahoj ↑ Elisa:,
To myslis toto
$\frac rr \int{\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\mathrm{d}t}=\int{\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\mathrm{d}t}$ ?

Al1 · 25. 08. 2017 07:44

↑ Elisa:

uprav původní integrand (píši jen argument odmocniny ve jmenivateli jmenovatele)
$x'^{2}-2x'x+x^{2}+r^{2}=(x'-x)^{2}+r^{2}=r^{2}\left[\left(\frac{x'-x}{r}\right)^{2}+1\right]$

zaveď substituci
$\frac{x'-x}{r}=t\nl \frac{1}{r}dx'=dt$
a dostaneš integrál (píši neurčitý)
$\int_{}^{}\frac{r}{\sqrt{r^{2}(t^{2}+1)}}\ dt$

po úpravě se zavede Eulerova substituce
$\sqrt{t^{2}+1}=t+u$ , která povede po úpravách (viz příspěvěk 9) na $\int_{}^{}-\frac{1}{u}\ du$

A po výpočtu užij resubstituce

vanok · 25. 08. 2017 08:09

Poznamka.
Ak dobre poznas hyperbolicke funkcie, tak ich mozes tiez pouzit na urcenie tvojho integralu.
A iste vies, ze
$\forall x \in \mathbb{R}, \ln ( x +\sqrt {1+x^2})= sh^{-1} x$

Matematické Fórum

#1 20. 08. 2017 21:42 — Editoval Elisa (20. 08. 2017 21:44)

výpočet integrálu

#2 20. 08. 2017 23:16

Re: výpočet integrálu

#3 20. 08. 2017 23:19

Re: výpočet integrálu

#4 20. 08. 2017 23:37

Re: výpočet integrálu

#5 21. 08. 2017 07:50

Re: výpočet integrálu

#6 21. 08. 2017 09:23

Re: výpočet integrálu

#7 21. 08. 2017 11:55

Re: výpočet integrálu

#8 21. 08. 2017 13:58 — Editoval vanok (21. 08. 2017 14:12)

Re: výpočet integrálu

#9 21. 08. 2017 13:59

Re: výpočet integrálu

#10 22. 08. 2017 20:56

Re: výpočet integrálu

#11 22. 08. 2017 21:53

Re: výpočet integrálu

#12 22. 08. 2017 21:57

Re: výpočet integrálu

#13 23. 08. 2017 08:49

Re: výpočet integrálu

#14 23. 08. 2017 10:24 — Editoval vanok (23. 08. 2017 11:07)

Re: výpočet integrálu

#15 23. 08. 2017 14:48

Re: výpočet integrálu

#16 23. 08. 2017 15:42 — Editoval vanok (25. 08. 2017 07:47)

Re: výpočet integrálu

#17 25. 08. 2017 06:49

Re: výpočet integrálu

#18 25. 08. 2017 07:41 — Editoval vanok (25. 08. 2017 07:49)

Re: výpočet integrálu

#19 25. 08. 2017 07:44

Re: výpočet integrálu

#20 25. 08. 2017 08:09

Re: výpočet integrálu

Zápatí