Matematické Fórum

Pritt · 18. 08. 2017 21:00

Pěkný páteční večer,
narazil jsem příklad, se kterým nemůžu hnout. Při výpočtu plošného integrálu se má využít G-O věta, avšak nemůžu najít tu správnou parametrizaci.

Jde o výpočet následujícího integrálu,

$\int \int_S (x-y+z, y-z+x, z-x+y)d \mu_s(x,y,z)$ ,

kde $S = \{ \vec{x} \in \mathbb{E}^3 : |x-y+z| + |y-z+x| + |z-x+y| = 1\}$

a pro upřesnění (stručné) znění G-O věty:

$\int \int_S \vec{F}(\vec{x})d \mu_s(\vec{x}) = a \int \int \int_V div(\vec{F}(\vec{x}))d(x_1, x_2, x_3), \;\; a \in \{-1, 1\}$

kde $V \subset \mathbb{E}^3$ je omezená oblast a $\bar{S} = bd(V)$ tedy uzávěr S je hranice V.

Tzn. $V = \{ \vec{x} \in \mathbb{E}^3 : |x-y+z| + |y-z+x| + |z-x+y| < 1\}$

Možná to bude jednoduché, ale nenapadá mě, jak určit parametrizaci bez toho, aniž bych si absolutní hodnotu v množině V rozepisoval do všech možných variant...

Výsledek integrálu má být roven jedné.

Stačilo by jenom malé nakopnutí, děkuji.

Rumburak

↑ Pritt:

Ahoj.

Myslím, že tuto práci s integrační množinou by mohla usnadnit substituce

$[u, v , w] = [x-y+z, y-z+x , z-x+y]$ .

Pritt · 21. 08. 2017 15:49

↑ Rumburak:

Děkuji za nápad, pokud tedy mám substituci

$[u, v , w] = [x-y+z, y-z+x , z-x+y]$

Spočtu jakobián

$\Delta_{J^{-1}} = \det (\dfrac{D(u, v, w)}{D(x,y,z)}) = \det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\1 & 1 &-1 \\-1& 1 & 1 \end{pmatrix} = 4$

Z toho plyne, že jakobián inverzní funkce bude $\Delta_J = 1/4$

Nejdříve tedy použiji Gaussovu větu a poté provedu substituci:

$I = \iint_S (x-y+z, y-z+x, z-x+y)d \mu_s(x,y,z) = \iiint_V 3 d\mu(\vec{x}) = \iiint_{\vec{\phi}^{-1}(V)} 3\cdot \frac{1}{4} d(u,v,w)$

Poté jsem si tedy množinu $\vec{\phi}^{-1}(V)$ rozdělil na 4 podmnožiny a ty popisoval zvlášť.
$\vec{\phi}^{-1}(V) = \{ (u,v,w) \in \mathbb{E}^3 : \lvert u \rvert + \lvert v \rvert + \lvert w \rvert < 1\}$

Jsou to tyto podmnožiny
$A) \nl u \in (0,1) \nl v \in (0, 1 -u) \nl w \in (u+v-1, 1-u-v) \nl B) \nl u \in (0,1) \nl v \in (u-1,0) \nl w \in (u-v-1, 1-u+v) \nl C) \nl u \in (-1,0) \nl v \in (0, u+1) \nl w \in (-u+v-1, 1+u-v) \nl D) \nl u \in (-1,0) \nl v \in (-u-1, 0) \nl w \in (-u-v-1, 1+u+v)$

Tedy
$I = \frac{3}{4} \Bigg( \iiint_A1 d(\vec{u}) + \iiint_B 1d(\vec{u}) + \iiint_C 1d(\vec{u}) + \iiint_D 1d(\vec{u}) \Bigg)$

Po několika úpravách jsem dostal

$I = 4$

Problém je, že výsledek měl být $I = 1$ . Tak a kde je teď chyba? Ve výsledku, nebo mám špatně udělanou parametrizaci, nebo v oněch úpravách při výpočtu? Zatím jsem ji nenašel, byl bych vděčný, kdyby se na to někdo mrknul..

Matematické Fórum

#1 18. 08. 2017 21:00

Plošný integrál - Gaussova-Ostrogradského věta

#2 21. 08. 2017 11:38 — Editoval Rumburak (21. 08. 2017 11:38)

Re: Plošný integrál - Gaussova-Ostrogradského věta

#3 21. 08. 2017 15:49

Re: Plošný integrál - Gaussova-Ostrogradského věta

Zápatí