Matematické Fórum

Raubbbyy · 21. 08. 2017 20:31

Dobry den, z 1. Cartanovej rovnice mi vyslo, ze
${\omega^t}_r = e^{\alpha -\beta }\frac{\partial \alpha}{\partial r} dt$
zaroven
${\omega^r}_t = e^{\beta - \alpha }\frac{\partial \beta}{\partial t} dr$
lenze musi platit, ze
${\omega^t}_r ={\omega^r}_t$
(Minkowskeho metrika diag(-1,1,1,1))
to znamena, ze
$e^{\alpha -\beta }\frac{\partial \alpha}{\partial r} dt = e^{\beta - \alpha }\frac{\partial \beta}{\partial t} dr$
kde
$\alpha = \alpha (t,r)$ , $\beta = \beta (t,r)$
ale ja tomu nerozumiem, pride mi divne ze jedna strana rovnice zavisi na dt a druha na dr co to presne znamena ? dakujem za odpovede.

Jj · 21. 08. 2017 21:40

↑ Raubbbyy:

Zdravím. Řekl bych, že zřejmě

$e^{\beta - \alpha }\frac{\partial \beta}{\partial t} dr=e^{\alpha -\beta }\frac{\partial \alpha}{\partial r} dt\Rightarrow \cdots \Rightarrow\frac{dr}{dt}=e^{2(\alpha -\beta) }\frac{\frac{\partial \alpha}{\partial r} }{\frac{\partial \beta}{\partial t} }$

Raubbbyy · 21. 08. 2017 22:28

no teraz potrebujem vysledok dosadit do 2. Cartanove rovnice
${\Omega^i}_j = {d\omega^i}_j + {\omega^i}_k\wedge{\omega^k}_j$
kde $\wedge$ je vnejsi sucin
teda pre
${\Omega^t}_r = {d\omega^t}_r + {\omega^t}_k\wedge{\omega^k}_r$
uz som napocital, ze koeficienty sumace ${\omega^t}_k\wedge{\omega^k}_r$ su nulove, ale ta derivace
${d\omega^t}_r = d\{e^{\alpha -\beta }\frac{\partial \alpha }{\partial t} dt\}$
po differenciaci vzdy dostanem cleny typu
$dt\wedge dt$ , $dr\wedge dt$ ,
lenze vnejsi sucin je antisymetricky to znamena ze napr. $dt \wedge dt =0$
a kedze existuje prechod medzi $dt \rightarrow dr$ a opacne pomocou vztahu ktory som uviedol v prvom prispevku tak potom plati, ze
$d{\omega^t}_r = d{\omega^r}_t =0$
teda
${\Omega^t}_r = {\Omega^r}_t =0$
je moja uvaha spravna ?