Matematické Fórum

canicula

Dobrý den,
máme k řešení tento příklad:

Pro rovnici:
$(1-x^2)y'' - 2xy + Ay = 0$
kde A je konstanta a $x \in [-1,1]$ ,
s použitím Frobeniovy metody, odvoď řešení pomocí řad ve formě:
$y = \sum_{n=0}^{\infty }a_n (x-1)^{(n+k)}$
Poté uveď podmínku pro A, která řadu ukončuje a redukuje řešení na polynomiál. Odpovídá to příslušné podmínce pro Legenderovy polynomiály?
Nápověda: V uvedených dvou rovnicích změň proměnou $x$ na $z = x - 1$ .

Začala jsem tedy:
$y = \sum_{n=0}^{\infty }a_n (x-1)^{(n+k)}$
$y' = \sum_{n=0}^{\infty }(n+k)a_n (x-1)^{(n+k-1)}$
$y'' = \sum_{n=0}^{\infty }(n+k)(n +k - 1)a_n (x-1)^{(n+k-2)}$
a vložila jsem je zpátky do původní rovnice:
$(1-x^2) \sum_{n=0}^{\infty }(n+k)(n +k - 1)a_n (x-1)^{(n+k-2)} - 2x\sum_{n=0}^{\infty }(n+k)a_n (x-1)^{(n+k-1)} + A \sum_{n=0}^{\infty }a_n (x-1)^{(n+k)} = 0$
Nevím si však rady, jak ji dále upravit, ať už nyní provedu $x \rightarrow x -1$ , nebo až po roznásobení výrazů před sumacemi.

Budu vděčná z jakékoli popostrčení, protože se mi to nezdá jako těžký příklad, přesto tam nějakou drobnůstku nevidím.

Rumburak · 25. 08. 2017 20:06

↑ canicula:
Ahoj.

Ta podmínka na tvar řady $y = \sum_{n=0}^{\infty }a_n (x-1)^{(n+k)}$ poněkud komplikuje
počtářskou stránku postupu. Možná by bylo užitečné provést napřed v dané rovnici
substituci

(*) $x-1 = t$ (čili $x = t + 1$ ) ,

řešení takto vzniklé rovnive pak nalézt ve tvaru

$y = \sum_{n=0}^{\infty }a_n t^{(n+k)}$

a na tento mezivýsledek aplikovat substituci inversní k (*).

canicula · 25. 08. 2017 21:13

Velmi ti děkuji!
Provedla jsem tedy toto:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-08/88015_21124760_10203427216717627_1534422026_o.jpg

(čtvrtý řádek odspoda neplatí).
Jestliže je úprava správná, pak mám výsledek v případě té substituce:
$a_{n+1} = -\frac{(n+k)(n+k+1) + A}{2(n+k+1)^2} a_{n}$
Jak mohu tedy substituci vrátit?

Rumburak · 26. 08. 2017 17:23

↑ canicula:

Jak mohu tedy substituci vrátit?

Tento dotaz je důsledkem nepřesného "popisu" té substituce, píšme-li $x \to x + 1$ .
Používat jednu proměnnou (zde $x$ ) v několika různých významech je metodická chyba.

Kdybys napsala

(1) $x-1 = t$ ,

tedy výraz $x-1$ označila novou proměnnou $t$ , bylo by vše jasné - do nalezené řady

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^{n+k}$

bys za $t$ dosadila $x-1$ , tedy přesně dle (1).

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2017 16:13 — Editoval canicula (25. 08. 2017 16:13)

Frobeniova metoda

#2 25. 08. 2017 20:06

Re: Frobeniova metoda

#3 25. 08. 2017 21:13

Re: Frobeniova metoda

#4 26. 08. 2017 17:23

Re: Frobeniova metoda

Zápatí