Matematické Fórum

BobMarley

Zdravím,
potřeboval bych poradit s následujícím problémem. Uvažujme modelový příklad z učebnice středoškolské matematiky:
V krabici je 6 bílých a 4 černé klobouky. Náhodně vylosujeme 2 klobouky. Jaká je pravděpodobnost, že
a) nebude vybrán bílý klobouk
b) bude vybrán jeden bílý a jeden černý klobouk
c) oba klobouky budou bílé?

Moje řešení:
1) Uvažuji rozlišitelné klobouky téže barvy (například je očíslujeme)
a) $P(A) = \frac{{{4}\choose{2}}}{{{10}\choose{2}}}$
b) $P(B) = \frac{{{{6}\choose{1}}{{4}\choose{1}}}}{{{10}\choose{2}}}$
c) $P(C) = \frac{{{{6}\choose{2}}}}{{{10}\choose{2}}}$
2) Uvažuji nerozlišitelné klobouky téže barvy
Počet celkových možných způsobů, jak vybrat dva klobouky je $P'(2,1) =3$ ${ {BB},{BC}, {CC}}$ , kde $B$ je bílý a $C$ černý klobouk. Z toho plyne, že
a) $P(A) = \frac{1}{4}$
b) $P(B) = \frac{2}{4}$
c) $P(C) = \frac{1}{4}$

Moje otázka (za předpokladu, že moje úvahy jsou správné): jak ze zadání poznám, kterou variantu (rozlišitelné, nebo nerozlišitelné) mám použit? Proč se ve středoškolských učebnicích rozlišitelné varianty neuvádí - resp. v zadáních není o rozlišitelnosti zmínka.

Modelový příklad lze rozvést i na jiné typické úlohy - koule v osudí, výrobky, rozdělení žáků (buď můžeme předpokládat, že jsou rozlišitelní, nebo se také na ně můžeme dívat jako na dvě množiny - chlapci a dívky a uvažovat, že jednotliví chlapci resp. dívky jsou mezi sebou (tj. v rámci své skupiny) nerozlišitelní.
Uznávám,že mnohdy počítat "rozlišitelnou variantu" příkladu není příjemné, ale to nic nemění na tom, že informace o rozlišitelnosti v zadání chybí - resp. pod pojmem "6 bílých" si ihned představím 6 nerozlišitelných klobouků, při troše zamyšlení to může být ale i 6 různých typů (rozlišených například tvarem) bílých klobouků
Snad je tomu rozumět :)

Děkuji za příspěvky k diskuzi

Jj · 29. 08. 2017 21:47

↑ BobMarley:

Dobrý den.

Řekl bych, že výpočty ad 1) jsou v pořádku.

Z výpočtů ad 2) nejsem zrovna moudrý:

Jaké by podle užitého postupu byly odpovědi na otázky ad 2, kdyby v krabici byly třeba dva bílé a dvěsta černých klobouků?

BobMarley

↑ Jj:

ad 2)
kombinace BB může padnout jedním způsobem, stejně tak CC
kombinace BC může padnout způsoby dvěma (BC, nebo CB)
(výsledky nejsou stejně pravděpodobné -> nelze užit klasické definice pravděpodobnosti, která předpokládá stejnou pravděpodobnost elementárních jevů, a proto jsem využil zobecnění klasické definice pravděpodobnosti. Víme, že součet pravděpodobností elementárních jevů musí být roven jedné)
proto P(BB)= 1/4, P(BC)=1/2 P(CC)=1/4.
Stejně jako například u nerozlišitelných kostek- pěkně to je vidět na gaussovu rozdělení.
viz https://cs.wikipedia.org/wiki/Hrac%C3%A … Bpodobnost
ad 2) Klobouky téže barvy jsou nerozlišitelné, takže pokud se nepletu, pak na počtech klobouků nezáleží (u rozlišitelných klobouků by to tak nebylo)- zase budu vybírat 2 klobouky, které můžu vybrat třemi způsoby takže P(BB)= 1/4, P(BC)=1/2, P(CC)=1/4.

O výpočty mi ale ani tak nejde, spíš nedokážu rozpoznat, kdy jakou variantu výpočtu použít (resp. zadání příkladů ze středoškolských knih mi přijdou neúplná - chybí pravě ta informace o rozlišitelnosti)

Jj · 29. 08. 2017 22:18

↑ BobMarley:

Jenže (a na to jsem svým dotazem ↑ Jj: chtěl poukázat), takto určená pravděpodobnost nezávisí na počtu klobouků jednotlivých barev, což je zřejmě absurdní.

BobMarley

↑ Jj:Máte pravdu. Když teď přemýšlím, jak to přepočítat, tak stejně sklouzávám k rozlišitelným kloboukům - "Kolika způsoby můžu vybrat 2 černé klobouky z 200" a vede mě to na kombinační číslo (?)

Edit
Úvaha
Na počátku budu uvažovat rozlišitelné klobouky $B_1,B_2$ a $C_1,C_2.,....,C_{200}$
Kolika způsoby můžeme dostat kombinaci BB (bez indexu) ? (2*1)/2=1
$B_1B_2$
$B_2B_1$
Kolika způsoby můžeme dostat kombinaci CC (bez indexu) ? (200*199)/2 = 19900
$C_1C_2$
$C_1C_3$
$C_2C_1$
$C_2C_3$
$C_3C_1$
$c_3C_2$
...
Kolika způsoby můžeme dostat kombinaci CB (bez indexu) ? (200*2) = 400

Celkový možný počet je pak 1+19900+400
a pravděpodobnosti
1/20301
600/20301
19900/20301

To vypadá jako smysluplnější výsledek

A když to blíže srovnám s rozlišitelným klobouky, tak pravděpodobnost je stejná.
Je to tak?

Jj · 30. 08. 2017 07:38 — Editoval Jj (30. 08. 2017 11:00)

$$$$ ↑ BobMarley:

Označím

b, c ~ počet bílých, černých
P(b), P(bc) ~ pravděpodobnost tahu bílého, bílého + černého (v pořadí bc) a pod. Pak myslím že v obou variantách rozlišitelnosti klobouků bude

$P(b)=\frac{b}{b+c}, \quad P(c)=\frac{c}{b+c}$
$P(bb)=\frac{b}{b+c}\cdot \frac{b-1}{b+c-1}, \quad P(cc)=\frac{c}{b+c}\cdot \frac{c-1}{b+c-1}$
$P(bc \vee cb)=\frac{b}{b+c}\cdot \frac{c}{b+c-1}+\frac{c}{b+c}\cdot \frac{b}{b+c-1}=\frac{2bc}{(b+c)(b+c-1)}$

Ale přiznám, že z úvah o nerozlišitelných předmětech se mi motá hlava.

Edit - ještě doplním:

Pokud není uvedeno jinak, tak v podobných případech předpokládám rozlišitelnost - opak mi přijde takový nějak moc "akademický" a myslím, že by měl být zdůrazněn. Větší problém vidím v nejasnostech ve způsobu "tahání" předmětů z uren atp. (s nebo bez vrácení).

BobMarley · 30. 08. 2017 14:46

↑ Jj:Moc děkuji za navedení, nyní se již shodujeme
Mé řešení (a konečné pochopení) odpovídá Vašemu, protože
$P(bb)=\frac{b}{b+c}\cdot \frac{b-1}{b+c-1}= \frac{{{b}\choose{1}}}{{{b+c}\choose{2}}}$
$P(cc)=\frac{c}{b+c}\cdot \frac{c-1}{b+c-1}= \frac{{{c}\choose{1}}}{{{b+c}\choose{2}}}$
$P(bc \vee cb)=\frac{b}{b+c}\cdot \frac{c}{b+c-1}+\frac{c}{b+c}\cdot \frac{b}{b+c-1}=\frac{2bc}{(b+c)(b+c-1)}= \frac{{{b}\choose{1}}{{c}\choose{1}}}{{{b+c}\choose{2}}}$

Tento postup se zdá opravdu platný pro obě varianty příkladu, proto se v literatuře neuvádí standardně rozlišitelnost.

Moc Vám děkuji!

Matematické Fórum

#1 29. 08. 2017 18:59 — Editoval BobMarley (29. 08. 2017 19:28)

Rozlišitelné a nerozlišitelné předměty

#2 29. 08. 2017 21:47

Re: Rozlišitelné a nerozlišitelné předměty

#3 29. 08. 2017 22:03 — Editoval BobMarley (29. 08. 2017 22:14)

Re: Rozlišitelné a nerozlišitelné předměty

#4 29. 08. 2017 22:18

Re: Rozlišitelné a nerozlišitelné předměty

#5 29. 08. 2017 22:32 — Editoval BobMarley (30. 08. 2017 21:30)

Re: Rozlišitelné a nerozlišitelné předměty

#6 30. 08. 2017 07:38 — Editoval Jj (30. 08. 2017 11:00)

Re: Rozlišitelné a nerozlišitelné předměty

#7 30. 08. 2017 14:46

Re: Rozlišitelné a nerozlišitelné předměty

Zápatí