Matematické Fórum

FrankD · 18. 09. 2017 21:29

Mám rovnici $\dot{y}=3\sqrt[3]{y^2}$ s počáteční podmínkou $y(t_{0})=0$

Integrováním získám jedno maximální řešení $y=(t-t_{0})^{3}$ .
Maximální řešení je ale i $y\equiv 0$ . To se určilo jak? Přímo ze zadané diferenciální rovnice nebo jinak?
Děkuji za pomoc

Xellos · 18. 09. 2017 22:09

Pociatocnu podmienku ignorujme, hladajme vsetky maximalne riesenia.

Riesenia sa hladaju pre dvojice $(x,y) \in I\times J$ , tu konkretne $I=\mathbb{R}$ a $J=(-\infty,0)$ resp. $J=(0,\infty)$ - to su intervaly kde prava strana je dostatocne hladka a nemeni znamienko. Nachadzame $(x-x_0)^3$ osobitne na intervaloch $(x_0,\infty)$ a $(-\infty,x_0)$ . Vhodna veta o jednoznacnosti potom ukazuje ze ziadne ine riesenia tam neexistuju, tvoje max. riesenie vznikne napojovanim v bodoch $(x_0,0)$ .

Teraz ostali nevysetrene riesenia na mnozine $\mathbb{R}\times\left\lbrace0\right\rbrace$ - to automaticky hovori $y=0$ a skuskou vidis ze ide o max. riesenie na celej tejto mnozine, dokonca ze sa da v bode $(x_0,0)$ napojit polovica funkcie $y=0$ s polovicou funkcie $y=(x-x_0)^3$ . Kazdej pociatocnej podmienke tvojto typu teda vyhovuju az 4 riesenia na $\mathbb{R}$ .

FrankD · 18. 09. 2017 23:22

↑ Xellos:
Děkuji za odpověď, ale stejně pořád nevím, z čeho vychází to řešení $y=0$ . Bude to prkotina, ale mně to prostě nedochází.

jarrro · 19. 09. 2017 10:18

rovnica
$\dot{y}=3\sqrt[3]{y^2}$
je pre $y\neq 0$
ekvivalentná s
$\frac{1}{3}\dot{y}y^{-\frac{2}{3}}=1$
teda
$y^{\frac{1}{3}}=x+C$
Pre y=0 dosadením zistíme,že vyhovuje konštantná nula,lebo
$0^{\prime}=0=3\sqrt[3]{0^2}$

jarrro · 19. 09. 2017 11:08 — Editoval jarrro (29. 01. 2021 08:09)

↑ Xellos:Ahoj. Nie náhodou nekonečne veľa riešení?
Lebo vyhovuje každá fcia tvaru
[mathjax]f{\left(x\right)}=\begin{cases}\left(x-\left(t_0-a\right)\right)^3 & \text{ pre }x\leq t_0-a\\
0 & \text{ pre } t_0-a<x\leq t_0+b\\
\left(x-\left(t_0+b\right)\right)^3 & \text{ inak }\end{cases}[/mathjax]
Pre [mathjax]a,b\geq 0[/mathjax]
Či sa mýlim?

Xellos · 19. 09. 2017 13:38

↑ jarrro:
Aha, hej. Pravda.

↑ FrankD:
Nerozumies len tomu co som napisal alebo proste nepoznas teoriu ODE?

FrankD · 19. 09. 2017 15:33

↑ Xellos:
Vím, jak tu rovnici vyřešit a dostat se k tedy k výsledku $y=(x+C)^{3}$ . A dále po dosazení OP spočítat konstantu C a získat tak řešení $y=(t-t_{0})^{3}$

Ale z čeho automaticky vyplývá další řešení $y=0$ nerozumím.

jarrro · 19. 09. 2017 15:45

↑ FrankD:aby si mohol danú ODE riešiť integrovaním, musíš ju vynásobiť $y^{-\frac{2}{3}}$ teda predpokladať y nenulové. Súčasťou riešenia by potom automaticky malo byť aj skúmanie čo sa stane ak bude y nulové a zrejme konštantná nula vyhovuje ako rovnici tak aj počiatočnej podmienke

Xellos · 19. 09. 2017 16:13

FrankD napsal(a):
↑ Xellos:
Vím, jak tu rovnici vyřešit

Vies riesenia natipovat integrovanim. Moja otazka bola ci poznas aspon nieco z teorie za tym (spomenul si "maximalne riesenia", preto som najprv cakal ze ano).

FrankD · 19. 09. 2017 18:06 — Editoval FrankD (20. 09. 2017 00:47)

↑ Xellos:
Teorii znám jenom povrchně.

Platí obecně, že pokud má rovnice bod rovnováhy roven nule, pak je maximální řešení y=0 ?

Xellos · 20. 09. 2017 12:25 — Editoval Xellos (20. 09. 2017 12:28)

↑ FrankD:
Tym myslis ze ak $y'=f(x,y)$ a $f(x,0)=0$ ? Ano, potom $y=0$ je maximalne riesenie - nevies z toho ale povedat ci existuju ine max. riesenia ktore su 0 len niekde. Stale ide len o uhadnutie jedneho riesenia (mozno z mnohych) vo velmi specifickej situacii.

Veta (riesenia separovanej difky):
$\text{Nech }y'=f(x)g(y)\text{. Nech existuju intervaly }I,J\subset\mathbb{R}\text{ take, ze }f()\text{ je spojita v }I\text{, }g()\text{ je spojita a nenulova v }J\text{. Nech}$
$F(x)\text{ je integral }f(x)\text{ na }I\text{ a }G(y)\text{ je integral }1/g(y)\text{ na }J\text{ (iba tu mas integrovanie). Nech }G_{-1}\text{ je inverzna funkcia k}$
$G()\text{ a integracne konstanty su zvolene tak, }\text{ze }F(x)\text{ lezi v definicnom obore }G_{-1}\text{ pre vsetky }x\in I\text{. Potom }$
$y=G_{-1}(F(x))\text{ je riesenie.}$
$\text{Mozem dopisat integracne konstanty a mam riesenie }y=G_{-1}(F(x)+c)\text{ pre }F(x)+c\text{ v obore hodnot }G_{-1}.$

Veta (Picard):
$\text{Nech }y'=f(x,y)\text{. Nech }f()\text{ a }\frac{\partial f}{\partial y}\text{ su spojite v bode }(x_0,y_0)\text{. Potom existuje prave jedno riesenie prechadzajuce}$
$\text{bodom }(x_0,y_0)\text{ (teda splnajuce podmienku }y(x_0)=y_0\text{).}$

Lemma (napojovanie):
$\text{Majme bod }x_0\in\mathbb{R}\text{. Nech }y_1:(a,x_0)\mapsto\mathbb{R}\text{ a }y_2:(x_0,b)\mapsto\mathbb{R}\text{ riesia rovnicu }y'=f(x,y)\text{ pre nejake intervaly }$
$(a,x_0)\text{ a }(x_0,b)\text{. Nech }\lim_{x\rightarrow x_0^+} y_2(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-} y_1(x)=y_0\text{ a }f(x,y)\text{ je spojita v bode }(x_0,y_0)\text{. Potom mame riesenie}$
$\text{na celom intervale }(a,b)\text{: }y(x)=y_1(x)\text{ pre }a < x < x_0\text{, }y(x)=y_2(x)\text{ pre }x_0 < x < b\text{ a }y(x)=y_0\text{ pre }x=x_0.$