Matematické Fórum

kocourOggy

Zdravím,
mám problém s důkazem následující věty.

Věta (O opakování pokusu)
Čekáme-li na náhodný jev, který nastane s pravděpodobností p, dočkáme se ho ve střední hodnotě v 1/p-tém pokusu.

důkaz:
Označme T náhodnou veličinu počtu pokusů, kdy nastane žádaný jev. Chceme určit střední hodnotu E[T ].

Z definice střední hodnoty:
$E[T] = \sum\limits_{i=1}^\infty i \cdot P[jev \ nastane\ v\ i.pokusu] = \sum\limits_{i=1}^\infty i \cdot P[T=i] = \sum\limits_{i=1}^\infty i \cdot (1-p)^{i-1}\cdot p$

Tato řada konverguje dle podílového kriteria a E[T ] je tedy konečné číslo. Určitě provedeme první pokus. Pokud jev nastane (s pravděpodobností p), končíme. Pokud nenastane (s pravděpodobností 1 − p), jsme ve stejné situaci jako na začátku, neboť proces nemá žádnou paměť (sem je důkaz jasný)

Platí tedy:
$E[T] = 1 + p\cdot 0 + (1-p) \cdot E[T]$

Smysl mi dává pouze poslední sčítanec (1 − p) E[T], který zřejmě popisuje, že jev nenastal (1-p) a musím se zanořit a v pokusu pokračovat znova (součin s E[T]). Nedokážu si ale ospravedlnit první část výrazu 1 + (p * 0)?

Stýv · 20. 09. 2017 08:08

1 - Určitě provedeme první pokus.
p*0 - Pokud jev nastane (s pravděpodobností p), končíme.

kocourOggy · 20. 09. 2017 12:38

↑ Stýv:
Jenže téhle argumentaci nerozumím. Snažím se nějak porovnat střední hodnotu vyjádřenou nekonečnou sumou $E[T] = \sum\limits_{i=1}^\infty i \cdot (1-p)^{i-1}\cdot p$ s rekurzivní rovností $E[T] = 1 + p\cdot 0 + (1-p) \cdot E[T]$

Ve střední hodnotě (vyjádřenou přes sumu) sčítám do nekonečna pravděpodobnost že jev nastal v i-tém pokusu krát index pokusu.
Tzn. (1 * p) + (2 * (p-1) * p) + (3 * (p-1) * (p-1) * p) + ... Tohle hezky reflektuje právě ta rekurze (1 − p) E[T].

Jak ale číslo 1 ve výrazu ospravedlňuje, že provedeme první pokus? Proč místo čísla 1 nemůžeme použít číslo p? Pro střední hodnotu sčítám přeci pravděpodobnosti, že jev nastal v i-tém pokusu a pro první pokus je ta pravděpodobnost p a právě rekurzí (1-p) * E[T] se budu postupně zanořovat a vznikne mi nekonečný součet: p + (1-p)*p + (1-p)*(1-p)*p + ... takže něco jako $E[T] = p + (1-p) \cdot E[T]$ Je mi jasný, že to není s nekonečnou sumou ekvivalentní, protože tam chybí ještě indexy i-tého pokusu, ale minimálně takhle to trochu chápu.

Navíc když si rozepíšu správnou rekurzi z důkazu $E[T] = 1 + p\cdot 0 + (1-p) \cdot E[T]$ tak přesně nekonečná suma pro E[T] taky nevychází!
$E[T] = 1 + p\cdot 0 + (1-p) \cdot E[T] = E[T] = 1 + (1-p) \cdot E[T] =$
$E[T] = 1 + (1-p) \cdot (1 + (1-p) \cdot E[T]) = 1 + (1-p) + (1-p)^{2} \cdot E[T]$

jarrro · 20. 09. 2017 13:48 — Editoval jarrro (20. 09. 2017 13:50)

$$1-p$\sum\limits_{i=1}^{\infty}{ i \cdot $1-p$^{i-1}\cdot p}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}{$ i+1-1$\cdot $1-p$^{i}\cdot p}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}{ $i +1$\cdot $1-p$^{i}\cdot p}-\sum\limits_{i=1}^{\infty}{$1-p$^{i}\cdot p}\nl $1-p$E=$E-p$-$1-p$$

kocourOggy

↑ jarrro:
Takže...
$\sum\limits_{i=1}^{\infty}{ $i +1$\cdot $1-p$^{i}\cdot p}$ je teda vlastně střední hodnota E[T], ve které jsme vynechali první pokus, takže součet se rovná E[T] - p.
$\sum\limits_{i=1}^{\infty}{$1-p$^{i}\cdot p}$ je po vytknutí čísla p ze sumy ven jen obyčejná geometrická řada, jejíž součet je (1-p)

Děkuju! Tohle řešení už mi smysl dává :)
Přesto bych byl rád, jestli není někdo ochotný podrobněji odargumentovat i první rovnost z původního důkazu $E[T] = 1 + p\cdot 0 + (1-p) \cdot E[T]$ , kdy 1 = určitě provedeme první pokus. p*0 = pokud jev nastane (s pravděpodobností p), končíme. Protože otazníky proč zrovna 1, nebo proč je i tato rovnost správná neodezněly.

Stýv · 20. 09. 2017 20:33

↑ kocourOggy: Nejspíš nerozumím tomu, co ti není jasné, ale možná pomůže výpočet přes větu o úplné střední hodnotě:
s pstí $p$ stačí právě jeden pokus
s pstí $(1-p)$ budeš mít 1. pokus neúspěšný a budeš zase na začátku
odtud $E(T)=p+(1-p)(1+E(T))=1+(1-p)E(T)$

kocourOggy · 21. 09. 2017 16:02

↑ Stýv:
Bohužel mi to stále není jasné. Chci zjistit střední hodnotu E[T], která mi sdělí, při kolikátém pokusu jev v průměru nastane. Pro jeden pokus je pravděpodobnost, že jev nastane rovna p. Že jev nastane až v druhém pokusu má pravděpodobnost rovnu (p-1)*p. Když to chci potom sečíst ve střední hodnotě nesmím zapomenout vynásobit jednotlivé pravděpodobnosti pokusů jejich indexy (tj. pořadí pokusů). Střední hodnotu E[T] pak vnímám jako aritmetický průměr, kde hodnoty, jejichž průměr chci spočítat jsou právě indexy jednotlivých pokusů a jejich četnosti jsou právě pravděpodobnosti pokusů.

$E[T] = 1 + p\cdot 0 + (1-p) \cdot E[T]$
1 = určitě provedeme první pokus.
p*0 = pokud jev nastane (s pravděpodobností p), končíme.

Nechápu jakým způsobem první sčítanec (číslo 1) ospravedlňuje to, že jsme provedli 1. pokus? Já nerozumím co to číslo vlastně znamená. Je to pravděpodobnost, že v 1. pokusu jev nastane? Zjevně ne, protože tuhle pravděpodobnost vyjadřuje číslo p. Je to pouze index čísla 1.pokusu? Možná... ale neměl bych ten index i=1 násobit pravděpodobností p, když se snažím počítat střední hodnotu?
Nerozumím ani vyjádření p*0 = pokud jev nastane (s pravděpodobností p), končíme. Proč psát že končíme? V rekurzi E[T] se znova zanořuju do dalšího pokusu, navíc přeci střední hodnotu počítám přes nekonečnou řadu.

$E(T)=p+(1-p)(1+E(T))=1+(1-p)E(T)$ Rovnost mi taky není zcela jasná. Asi se snažím vyjádřit střední hodnotu pomocí prvního pokusu. První pokus bude tvořit výraz pravděpodobnost 1. pokusu krát jeho index, tj. p * 1 = p. Takhle si ospravedlňuju první sčítanec v rovnosti. Další sčítanec mi vyjadřuje, že jev v předchozím případě nenastal proto v druhém sčítanci součin s (1-p), ale pokud se vracím zpátky na začátek mělo by to být pouze E[T] a ne (1 + E[T])...

Zkusím se zeptat potom ve škole, přecijen asi není úplně jednoduché vysvětlovat věci takhle na fóru. Ale děkuju za příspěvky! :)

jarrro · 21. 09. 2017 16:58 — Editoval jarrro (21. 09. 2017 17:01)

ide iba o to že počet pokusov je aspoň 1 teda na získanie počtu pokusov musime k jednotke niečo nezáporné pripočítať
s pravdepodobnosťou p to bude 0 (už v prvom pokuse sme uspeli ) a s pravdepodobnosťou 1-p nejaký iný počet pokusov, ktorý má ale rovnaké rozdelenie ako pôvodný (kvôli aj tebou spomínanej absencii pamäti)
teda
$E{\[T\]}=\color{red}1\color{black}+\color{green}$p\cdot 0+\(1-p$E{\[T\]}\)$

Stýv · 21. 09. 2017 17:32

kocourOggy napsal(a):
pokud se vracím zpátky na začátek mělo by to být pouze E[T] a ne (1 + E[T])...

Ty se sice "vracíš na začátek", tj. zbývá ti průměrně E(T) pokusů, ale jeden pokus už jsi udělal, tak ho musíš přičíst, proto je tam 1+E(T). Znáš větu o úplně stření hodnotě? https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation

kocourOggy · 23. 09. 2017 02:17

↑ jarrro:
Supr! Teď už ta jednička dává smysl. Na druhou stranu se mi problém jaksi přelil do zelené části a nedokážu si zcela intuitivně ospravedlnit (1-p)*E[T], ach jo... Naštěstí se to dá ospravedlnit vaším výpočtem výše. I tak by bylo uklidňující, kdyby to dávalo smysl i bez té početní berličky. Nicméně děkuju! :)

kocourOggy

↑ Stýv:
Na větičku jsem se díval, ale upřímně jsem to moc nepobral. Dělal mi potíže zejména způsob zápisu. Nakonec jsem zjistil, že důvod proč zápisu nerozumím je ten, že mám mezery v podmíněné pravděpodobnosti. Abych to tu uvedl na pravou míru... studuji algoritmy a jejich analýzu z materiálů Průvodce labyrintem algoritmu od Tomáše Vally, kde je úvod do pravděpodobnosti jen to nejnutnější a já tak nějak doufal, že mi to málo bude stačit.
Nechci znít nevděčně. Ochoty poradit si cením. Ale upřímně jsem nad tímhle důkazem strávil nepřiměřeně moc času. Ačkoliv důkaz s výpočtem uživatele jarrro mi nakonec dává smysl, intuitivně (tedy způsobem, jak je to ve studijních materiálech vyjádřeno) tomu stále moc nerozumím. Jinými slovy "necítím", že to MUSÍ být tak jak je to uvedeno v materiálech a ne jinak, což je v matematice podle mě docela důležité.

Matematické Fórum

#1 20. 09. 2017 00:37 — Editoval kocourOggy (20. 09. 2017 01:03)

Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

#2 20. 09. 2017 08:08

Re: Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

#3 20. 09. 2017 12:38

Re: Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

#4 20. 09. 2017 13:48 — Editoval jarrro (20. 09. 2017 13:50)

Re: Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

#5 20. 09. 2017 15:12 — Editoval kocourOggy (20. 09. 2017 15:12)

Re: Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

#6 20. 09. 2017 20:33

Re: Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

#7 21. 09. 2017 16:02

Re: Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

#8 21. 09. 2017 16:58 — Editoval jarrro (21. 09. 2017 17:01)

Re: Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

#9 21. 09. 2017 17:32

Re: Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

kocourOggy napsal(a):

#10 23. 09. 2017 02:17

Re: Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

#11 23. 09. 2017 02:19 — Editoval kocourOggy (23. 09. 2017 02:22)

Re: Výpočet střední hodnoty (věta o opakování pokusu)

Zápatí