Matematické Fórum

stereo-total-music · 22. 09. 2017 15:40

Mějme rovnoběžnou nekonečně dlouhou desku ve vakuu s kladnou proudovou hustotou $\sigma >0$ . Souřadnicová soustava vypadá takto:

Vektor intenzity elektrického pole $\vec{E}$ v libovolném bodě $\vec{X}$ má směr od desky.

Velikost intenzity elektrického pole $E$ v bodě $\vec{X}$ je daná součtem všech elementárních intenzit přes $r=0..\infty$ a $\varphi =0..\pi$ , neboť každý element $dE$ je dán součtem dvou vektorů $\vec{dE'}$ v opačných polokruzích. Velikost $dE$ je:

$dE = 2\cdot dE'\cdot \sin (\arctan(\frac{x}{r}))$

kde $dE'$ je:

$dE' = \frac{\sigma }{4\cdot \pi \cdot \varepsilon _0}\cdot \frac{dr\,d\varphi }{x^{2}+r^{2}}$

Výsledná intenzita elektrického pole $E$ v bodě $\vec{X}$ je tedy:

$E=\int_{r=0}^{r\to \infty}\int_{\varphi =0}^{\varphi =\pi} \frac{2\cdot \sigma }{4\cdot \pi \cdot \varepsilon _0}\cdot \sin (\arctan(\frac{x}{r}))\cdot \frac{1}{x^{2}+r^{2}} \,d\varphi \, dr = \frac{\sigma}{2\cdot \epsilon_0 \cdot x}$

Pokud nyní přidám druhou opačně nabitou rovnoběžnou desku ve vzdálenosti $x=L$ , tak její vektory intenzity směřují směrem k ní. Celková intenzita mezi deskami je součet intenzit od obou desek:

$E=E_{1}+E_{2}=\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}\cdot x}+\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}\cdot (L-x)}=\frac{\sigma \cdot L}{2\cdot \varepsilon _{0}\cdot x\cdot (L-x)}$

Podle literatury je však intenzita mezi deskami $E=\sigma / \epsilon_0$ . Co je špatně na mém odvození?

LukasM · 22. 09. 2017 16:37 — Editoval LukasM (22. 09. 2017 16:47)

↑ stereo-total-music:
Řekl bych, že je tam jediná chyba, a to chybějící r ve výrazu pro dE'. Pak by pro jednu nabitou desku mělo vyjít $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon _0}$ - nezávisle na vzdálenosti od ní. Stejný výsledek jde získat rychleji pomocí Gaussovy věty a nějakých úvah o symetrii.

Edit: Pro výpočet toho integrálu by mohlo být lepší místo $\mathrm{ sin}\left(\mathrm{atan}\left( \frac{x}{r} \right)\right)$ psát $\frac{r}{\sqrt{x^2+r^2}}$ , což odpovídá kosinu doplňkového úhlu do 90 stupňů - tedy je to to samé.