Matematické Fórum

marekj26 · 25. 09. 2017 10:05

Ahoj,
mám zadaný příklad: a^2 + b^2=10729 a nevím si rady s postupem popř.jestli existuje nějaký algoritmus, věta. Mam prijit na a a b.Zkusil jsem osamostatnit a a odmocnit obě strany, ale jak prijit na konkretni cislo? Děkuji všem za rady,postupy a názory.

zdenek1 · 25. 09. 2017 10:38

↑ marekj26:
Zdravím,
moje rada ti asi moc nepomůže, protože to není algoritmus.
Já prostě vím, že 729 je druhá mocnina přirozeného čísla, takže okamžitě vidím
10000 + 729
Je jasné, že mi to neříká, jestli je to jediné řešení.

Rumburak · 25. 09. 2017 11:24

↑ marekj26:

Ahoj.

Hledáme tedy uspořádané dvojice $[a, b]$ reálných čísel takové, aby platilo

(1) $a^2 + b^2=10729$ ?

Podívejme se na to geometricky.
Předpokládejme, že máme k disposici rovinu, v níž je zavedana kartéská soustava souřadnic
$Pxy$ , tj. přímkové souřadnicové osy $x, y$ se protínají v bodě $P=[0, 0]$ , jsou na sebe kolmé,
při čemž body $[1, 0] , [0, 1]$ mají od bodu $P$ tutéž vzdálenost rovnu 1.

Pomocí nákresu a Pythagorovy věty snadno zjistíme, že vzdálenost bodu $A=[a, b]$ od bodu $P$
je rovna $\sqrt{a^2 + b^2}$ . Má-li navíc platit (1), znamané to, že bod $A$ má od bodu $P$ vzdálevost
$\sqrt{10729}$ , tj. leží na kružnici o středu $P$ a poloměru $\sqrt{10729}$ .

Cestu k jednomu konkretnímu (a při tom netriviálnímu) řešení Ti ukázal kolega zdenek1 .
Dokázal bys nalézt i nějaká další ?

marekj26

↑ Rumburak:
Dekuji za nasmerovani. Takze pokud to dobre chapu, mohu vyuzit vzorce pro kruznici, do ktere dosadim střed P a bude to rovno 10729. A pote pokud budu dosazovat ruzne body o souradnicich budu zjistovat , jestli jsou soucasti kruznice. Ale nevim, jak prijit na ty prave souradnice. To se da nejak zjistit? Krom prispevku od zdenka.

LukasM · 25. 09. 2017 13:35

↑ marekj26:
Ono by stálo ještě za to si ujasnit, jestli čísla a,b mají být reálná, nebo jsou na ně kladeny nějaké další omezující podmínky. Z názvu tématu by se dalo tušit, že by třeba mohla být celočíselná - a aniž bych chtěl mluvit za Zdeňka, odhadl bych, že to také při psaní svého příspěvku předpokládal. Tohle je naprosto klíčové pro volbu správného postupu.

marekj26 · 25. 09. 2017 13:37

↑ LukasM: zadání :rozklad prvočísla na součet dvou čtverců...to jsem prehledl

Rumburak

↑ marekj26:
Pokud jde o to zjistit nějakou konkretní dvojici $[a, b]$ , která té rovnici vyhovuje
(tedy konkretní bod na příslušné kružnici), pak máme k disposici např. možnosti

1. $a = 0 , b = \sqrt{10 729}$ ,

2. $a = \sqrt{10 000} = 100 , b = \sqrt{729} = 27$ ,

Dále platí:

Vyhovuje-li rovnici $x^2 + y^2=10729$ usp. dvojice $[a, b]$ , pak jí vyhovují též usp. dvojice

$[-a, b]$ , $[a, -b]$ , $[-a, -b]$ , $[b, a]$ .

Další konkretní řešení mne nanapadá, ale je možné, že zkušenější počtář by něco objevit mohl.

vanok · 25. 09. 2017 19:58 — Editoval vanok (25. 09. 2017 20:06)

Pozdravujem,
O rozklade prvocisla typu $4k+1$ na dva stvorce prirodzenych hovori napr. Thue-ho lemma.
( rozklad je jednoznacny az usporiadanie dvojice). Pisal som o tom tu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=97570 v #4.

zdenek1 · 25. 09. 2017 20:54

↑ vanok:
Ano, mě ten problém zaujal a tu větu taky jsem našel. Jenže nikde není postup, jak ten rozklad konkrétně najít. V tomto případě jsem to viděl, ale na to asi nedá spoléhat :)

marekj26 · 25. 09. 2017 21:13

↑ vanok: A přímo postup nebo příklad podobného typu s postupem by nebyl? :D nemohu nikde nic najítt a nevím co přesně zadat do postupu...nevím jestli mi uzná náhodou jsem vybral tyto dvě čísla

vanok · 25. 09. 2017 23:10 — Editoval vanok (26. 09. 2017 06:16)

Pozdravujem ↑ zdenek1:, ↑ marekj26:,
V tomto pripade rozklad na 2 stvorce je okamzity.
Vdaka vete co som pripomenul je to regularne riesenie...... no mozno autor cvicenia bude vyzadovat DOKAZ jednoznacnosti. ( Co sa da elementarne dokazat vdaka vlasnostiam $\mathbb{Z} [i]$ .... )
Tu mas nejake uzitocne algorithmy http://mathafou.free.fr/themes_en/ksumsq.html
Ak budem mat cas, vratime sa Thue-ovej lemme a ju dokazeme. 👍

Honzc · 26. 09. 2017 08:40 — Editoval Honzc (26. 09. 2017 08:42)

↑ vanok:
Zdravím,
a jak by to bylo s tímto $a^2 + b^2=7225$
Samozřejmě vím, že 7225 není provočíslo.

Ferdish

↑ Honzc:
Ak a,b majú byť prirodzené čísla, využil by som to, že druhé mocniny čísel s cifrou 5 na mieste jednotiek sú čísla končiace dvojčíslím 25 (nakoniec, 7225 je druhou mocninou čísla 85 :) ).

Jedným z hľadaných čísel (napr. a) by teda mohlo byť číslo z množiny $M=\{10k+5; k\in N_0\}$ . Jeho odčítaním od čísla 7225 dostaneš číslo b v celých stovkách, ktoré už na prvý pohľad buď pôjde alebo nepôjde odmocniť na prirodzené číslo.

vanok · 26. 09. 2017 10:48 — Editoval vanok (26. 09. 2017 13:32)

Ahoj ↑ Honzc:,
Vo vseobecnom pripade da odpoved rozklad cisla na jeho prvociselne faktory.
Cf. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sum_of_ … es_theorem
V takomto pripade nemas vzdy jednodnost rozkladu ak existuje.

Honzc · 26. 09. 2017 14:28 — Editoval Honzc (26. 09. 2017 14:32)

↑ vanok:
Ahoj,
děkuji za odkaz, já jsem to řešil takto:
Jedná se o pythagorejský trojúhelník, kde přepona je $c=5\cdot 17=85\,\,(85^{2}=7225)$
Pro p.t. musí platit: (je-li c přepona)
$a=p^{2}-(p-k)^{2}$
$b=2p(p-k)$
$c=p^{2}+(p-k)^{2}$
kde $p=\frac{k+\sqrt{2c-k^{2}}}{2},k<\sqrt{c},k\,\text{je}\,\text{liché}\,\text{pro}\, c\,\text{liché}\, k\in N$
pro sudé c musí být k také sudé
$c'=5$
$k=\sqrt{5},k\,\text{liché},k=\{1\}$
$p=\frac{1+3}{2}=2$
Pak $a'=4-1=3,b'=2\cdot 2\cdot 1=4,c'=(4+1)=5$
a $a=3\cdot 17=51,b=4\cdot 17=68,c=5\cdot 17=85$

Obdobně
$c'=17$
$k=\{1,3\}$
$k=1,p=\frac{1+\sqrt{33}}{2}-ne$
$k=3,p=\frac{3+\sqrt{34-9}}{2}=4$
$a=15\cdot 5=75,b=8\cdot 5=40,c=17\cdot 5=85$

$c=85$
$k<\sqrt{85},k=\{1,3,5,7,9\}$
$k=1,p=7$
$a=13,b=84,c=85$

pro $k=\{3,5,9\}$ nená řešení
$k=7,p=\frac{7+11}{2}=9$
$a=77,b=36,c=85$