Matematické Fórum

pepamepa55@gmail.com · 28. 09. 2017 07:08

Zdravím,
potřeboval bych poradit s následujícím příkladem.

Za jakých podmínek platí rovnosti pro vektory u a v.
a) $||u+v||=||u||+||v||$
b) $||u+v||=||u||-||v||$

Můj dosavadní postup je následující.
a) Možnost 1: u a v jsou nulové
Možnost 2: jeden z vektorů u a v je nulový
Možnost 3: u=k*v
b) Možnost 1: v=0
Možnost 2: u a v jsou 0
Možnost 3: $u=-k^{2}*v$

Možnosti 3 u obou případů neumím nijak dokázat.

Nevím jestli to je všechno a zda je to dobře.

Děkuji za radu

Andrejka3 · 28. 09. 2017 12:51

↑ pepamepa55@gmail.com:
Ahoj.
Tvoje úvahy jdou dobrým směrem.
a) by šlo zkrátit: vektory u,v jsou závislé.
b) asi ještě něco dodat.

Ohledně dokazování, asi jste si někde definovali, co je délka. Jaké má to zobrazení z vektorového prostoru do čísel vlastnosti... Ty je třeba využít.

Andrejka3 · 28. 09. 2017 13:07

a) Předpokládejme, že $u=kv$
Pak $\|u+v\|=\|kv+v\|=\|(k+1)v\|=\left|k+1\right|\|v\|$ .
Dále $\|u\|+\|v\|=\|kv\|+\|v\|=\left| k\right|\|v\|+\|v\|=(|k|+1)\|v\|$ ,
takže v tomto případě rovnost nastane, když $|k|+1=|k+1|$ , což už rozebereš?

Horší je asi dokázat, že nezávislé vektory dají ostrou nerovnost. Můžeš se podívat na Minkowski-ho lemma

pepamepa55@gmail.com · 28. 09. 2017 13:24

Děkuji za odpověď.
Takže u a to platí pro k v intervalu <0;nekonečno)?

Ale s tím druhým neumím pohnout.

Andrejka3 · 28. 09. 2017 13:30

↑ pepamepa55@gmail.com:
Jo. To b) bude pro závislé skoro totéž.
Pak ale zbývá vyšetřit, proč je ta nerovnost ostrá pro nezávislé vektory, což se řeší v důkazu Minkowskiho lemmatu a takhle z hlavy to nedám.

pepamepa55@gmail.com · 28. 09. 2017 13:37

Můžu u b vycházet z toho že u=-k^2*v? A potom upravit levou a pravou stranu stejně jako u a?

Andrejka3 · 28. 09. 2017 14:41

↑ pepamepa55@gmail.com:
Spíše zkus v=ku

pepamepa55@gmail.com · 28. 09. 2017 15:38

Děkuji za rady.

Xellos · 28. 09. 2017 17:40

Norma indukovana skalarnym sucinom: $||u+v||^2=\left<u+v,u+v\right>=||u||^2+||v||^2+2\left<u,v\right>=(||u||\pm||v||)^2=||u||^2+||v||^2\pm2||u||\cdot||v||$ , teda $\left<u,v\right>=\pm||u||\cdot||v||$ .

Cauchy-Schwarzova nerovnost hovori ze $\left<u,v\right>\le||u||\cdot||v||$ a rovnost nastava iba ked jeden z vektorov $u,v$ je nasobok druheho. To dava rychlo odpoved na a).
Ak mame $\left<u,v\right>=-||u||\cdot||v||$ , mozeme prenasobit $u$ minusom a dostaneme $\left<-u,v\right>=||-u||\cdot||v||$ , co je vlastne len pripad a). V oboch pripadoch budu $u,v$ kolinearne.