Matematické Fórum

aniuce · 02. 10. 2017 12:10

Dobrý den,
prosím o radu s touto úlohou:

Na šachovém turnaji hraném systémem každý s každým se zúčastnili jen prváci a druháci. I přesto, že druháků bylo třikrát víc než prváků, získali spolu jen o 3 body víc než prváci. Kolik žáků se zúčastnilo turnaje?

vím že:
počet her je 1/2 n (n-1), n je počet hráčů celkem
druháků = 3x prváků
druháci + prváci = n = 4 x prváci
body druháků = body prváků + 3
n = body prváků + body druháků = 2 body prváků + 3

a pak už se mi to zamotá

děkuji

zdenek1 · 02. 10. 2017 13:23

↑ aniuce:
zkus si vyjádřit maximální možný počet bodů získaný prváky

aniuce · 02. 10. 2017 13:30 — Editoval aniuce (02. 10. 2017 13:47)

body prváků $\le \frac{n(n-1)}{2}-3$
takhle?

když si dosadím za body prváků (bp = (n-3)/2)
vyjde mi že n>=3

n = 4 x prváci
tak vlastně 4 prváci >=3 a to znamená že prváků musí být >= 3/4, takže alespoň 1

zdenek1 · 02. 10. 2017 13:45

↑ aniuce:
řekněme, že prváků je $x$ , pak maximální možný počet bodů, které mohou získat je
$p\le(n-1)+(n-2)+\cdots+(n-x)$ ( $n=4x$ ) $p$ počet bodů prváků
a zkus to nějak upravit

aniuce · 02. 10. 2017 13:48

aha, zkusím děkuji

Cheop · 02. 10. 2017 14:48 — Editoval Cheop (02. 10. 2017 14:50)

↑ aniuce:
Vychází mi celkem 8 žáků, z toho 2 prváci a 6 druháků
Prváci získali 12,5 bodů
Druháci získali 15,5 bodu

aniuce · 02. 10. 2017 17:50 — Editoval aniuce (02. 10. 2017 17:59)

pořád se zamotávám

myslela jsem že vyhraná hra je za bod, ale možná by to tak šlo

Al1 · 02. 10. 2017 18:13

Zdravím,

zdá se mi, že úloha není zadána přesně. Jak je to s bodováním? Nemůžeme se dohadovat, že výhra je jeden bod.

zdenek1 · 02. 10. 2017 21:57

↑ Al1:
Pravda, tato informace tam není. Nicméně v šachu je to klasicky - výhra 1 bod, remíza 1/2, prohra 0

Cheop · 03. 10. 2017 08:35 — Editoval Cheop (03. 10. 2017 08:46)

↑ aniuce:
Existuje ještě řešení:
Turnaje se zúčastnili 4 žáci z toho 1 prvák a 3 druháci
Prvák získal 1,5 bodu a druháci získali 4,5 bodu

aniuce · 03. 10. 2017 10:57

o bodování nic v zadání není, počítala jsem bod za výhru a jinak nic, tak možná by se mělo počítat : 1, půl, 0
takže 2 řešení, půlbodům se zřejmě nevyhnu, každopádně počet her je celé číslo a počet řešení ověřím experimentem

Cheop · 03. 10. 2017 11:19

↑ aniuce:
Ano za výhru je v šachu 1 bod, za remízu každému 0,5 bodu za prohru 0 bodů
V každé hře je tak udělen 1 bod.

aniuce · 03. 10. 2017 12:19

aha, tak to já jsem takto nepočítala, takže to budu muset drobet předělat

zdenek1 · 03. 10. 2017 13:14

↑ aniuce:
ve skutečnosti nemusíš, ty remízy během výpočtu nepotřebuješ (až na konci při kontrole bodových zisků)

aniuce · 03. 10. 2017 13:32 — Editoval aniuce (03. 10. 2017 13:34)

aha, dobře
a mohl by mi někdo podrobněji vysvětlit nebo rozepsat toto $p\le(n-1)+(n-2)+\cdots+(n-x)$

aniuce · 03. 10. 2017 17:13

asi už jsem nato přišla jinak něž přes tuto nerovnici a vyšlo mi ještě jedno řešení že druháků je 9 a prváků 3

zdenek1 · 03. 10. 2017 17:30

↑ aniuce:
ale to neodpovídá podmínkám.
Pokud jsou prvváci 3, tak nejvyšší počet bodů, které mohou získat je 11+10+9=30.
Jenže při 12ti lidech se rozděluje $\frac{12\cdot11}2=66$ bodů, a to znamená, že na druháky připadá nejméně 36 bodů.

aniuce · 04. 10. 2017 12:06

jojo, už to vidím, děkuji, už to dám dohromady

Matematické Fórum

#1 02. 10. 2017 12:10

Kombinatorika

#2 02. 10. 2017 13:23

Re: Kombinatorika

#3 02. 10. 2017 13:30 — Editoval aniuce (02. 10. 2017 13:47)

Re: Kombinatorika

#4 02. 10. 2017 13:45

Re: Kombinatorika

#5 02. 10. 2017 13:48

Re: Kombinatorika

#6 02. 10. 2017 14:48 — Editoval Cheop (02. 10. 2017 14:50)

Re: Kombinatorika

#7 02. 10. 2017 17:50 — Editoval aniuce (02. 10. 2017 17:59)

Re: Kombinatorika

#8 02. 10. 2017 18:13

Re: Kombinatorika

#9 02. 10. 2017 21:57

Re: Kombinatorika

#10 03. 10. 2017 08:35 — Editoval Cheop (03. 10. 2017 08:46)

Re: Kombinatorika

#11 03. 10. 2017 10:57

Re: Kombinatorika

#12 03. 10. 2017 11:19

Re: Kombinatorika

#13 03. 10. 2017 12:19

Re: Kombinatorika

#14 03. 10. 2017 13:14

Re: Kombinatorika

#15 03. 10. 2017 13:32 — Editoval aniuce (03. 10. 2017 13:34)

Re: Kombinatorika

#16 03. 10. 2017 17:13

Re: Kombinatorika

#17 03. 10. 2017 17:30

Re: Kombinatorika

#18 04. 10. 2017 12:06

Re: Kombinatorika

Zápatí