Matematické Fórum

AterCZ · 04. 10. 2017 10:49

Ahoj,
mám problém s výpočtem kombinatorické čísla, kdy n je menší než k. Mohl bych poprosit o postup, jak například vypočítám K(5,4)? Dle výsledků to má vyjít 56, mně vycházely čísla menší než 1.

Rumburak

↑ AterCZ:

Ahoj. Pokud máš na mysli kombinační čísla $n \choose k$ , kde $n, k$ jsou celá nezáporná čísla
taková, že $k \le n$ , potom

${n \choose k} := \frac{n!}{k! (n-k)!}$ ,

kde $0! := 1$ , $(m + 1)! := (m + 1)\cdot m!$ (což je rekurentní definice pro faktoriál), např.

$1! = 1\cdot 0! = 1\cdot 1 = 1$ , $2! = 2\cdot 1! = 2\cdot 1 = 2$ , $3! = 3\cdot 2! = 3\cdot 2 = 6$ atd.) ,

stručně tedy $n! = 1\cdot 2 \cdot ... \cdot n$ , např. $4! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

V učebnici kombinatoriky to určitě najdeš.

EDIT.

Význam kombinačních čísel: Za výše uvedených předpokladů o číslech $n, k$ platí, že
množina mající přesně $n$ prvků má k-prvkové podmnožiny, jejichž počet je ${n \choose k}$ .

PS. Ale podle toho, co píšeš, máš možná na mysli něco jiného. Co je to K(n, k) ?
Jak je definováno ?

AterCZ · 04. 10. 2017 15:40

↑ Rumburak: děkuji moc za pečlivou odpověď.
Konkrétně se snažím přijít na tento příklad:

V samoobsluze mají čtyři druhy kávy v balíčcích po padesáti gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže
a) balíčků každého druhu mají dostatečný počet;
b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích.

Výsledek

Výsledky:
a) K'(5, 4) = 56
b) K'(5, 4) − 2 = 54

Myslel jsem si, že K'(5, 4) znamená $(\frac{4}{5})$ , což ale je tedy dle Tvého vysvětlení ale blbost. Mohl bych poprosit o osvětlení, jak se tady dopracovali k výsledku?

misaH · 04. 10. 2017 15:50

↑ AterCZ:

No - ak sa nemýlim, K` sú kombinácie s opakovaním...

Rumburak

↑ AterCZ:

Kolegyně ↑ misaH: Ti sdělila, že zde nutno pracovat s kombinacemi s opakováním.
Podívejme se na případ a) , který má pro pochopení příslušné látky základní význam.

Máme 4 druhy kávy a chceme z nich nakombinovat 5 balíčků. Ve zvolené kombinaci
se jednotlivé druhy kávy mohou opakovat (dokonce je to nutnost, protože jinak
by bylo možno koupit nejvýše 4 x 50 = 200 g). Jde tedy o kombinace páté třídy
za čtyř prvků s opakováním. Počet kombinací k-té třídy z n prvků s opakováním je
roven číslu

$K'(n, k) = {{n + k - 1} \choose k}$ .

Až najdu odkaz na důkaz, doplním ho sem.

Případ b) je poněkud komplikovanější a tudíž náročnější na rozbor, ale jinak v něm
po teoretické stránce nic nového není.

EDIT. Slibovaný důkaz je zde ↑↑ Rumburak:. Ale používám tam poněkud jiné značení.

AterCZ · 05. 10. 2017 13:45

↑ misaH:↑ Rumburak: děkuji moc za osvětlení, měl jsem v tom guláš. Na důkaz se podívám.

Matematické Fórum

#1 04. 10. 2017 10:49

Počítání kombinatorických čísel

#2 04. 10. 2017 11:42 — Editoval Rumburak (04. 10. 2017 15:11)

Re: Počítání kombinatorických čísel

#3 04. 10. 2017 15:40

Re: Počítání kombinatorických čísel

#4 04. 10. 2017 15:50

Re: Počítání kombinatorických čísel

#5 05. 10. 2017 13:27 — Editoval Rumburak (05. 10. 2017 13:36)

Re: Počítání kombinatorických čísel

#6 05. 10. 2017 13:45

Re: Počítání kombinatorických čísel

Zápatí