Matematické Fórum

Fires · 07. 10. 2013 14:40

Zdravím,
můžete mi prosím pomoc jak se do tohoto příkladu zakousnout nějak mi to furt nesepína.

Na účtu v restauraci je zapsáno pět položek: čaj, kofola, pivo, rum, fernet. Kolika způsoby se mohou o zaplacení podělit tři hosté, má-li každý zaplatit alespoň jeden nápoj?

Formol · 07. 10. 2013 15:46

↑ Fires:
Ahoj,
představ si to vizuálně - tam, kde máš v seznamu čárky nebo tečku, chceš umístit jednoho hosta. Použiješ interpretaci, že každý host platí vše, co je vlevo od něj až dokud nenarazí na konec seznamu nebo na dalšího hosta. Pokud v tom vidíš, že takhle je zaručeno, že každý platí alespoň jeden nápoj, je to už jen o dosazení do příslušného kombinatorického vzorce:-)

zdenek1 · 07. 10. 2013 16:01

↑ Fires:
Pro zaplacení čaje máš 3 možnosti, pro zaplacení kofoly taktéž atd.
To znamená, že všech možných způsobů zaplacení je $3^5$

Jenže v tom jsou i možnosti, že jeden nepaltil. Těch je $3\cdot2^5$

Jenže v tom jsou i možnosti, že dva neplatili, ty jsou $3$ , a ty jsme v předcházející variantě započítali dvakrát, takže je musíme odečíst

$3^5-(3\cdot2^5-3)$

Fires · 07. 10. 2013 20:47

Tak ten priklad jsem pochopil ale asi ne z jeho podstaty. Druha varianta prikladu:

{caj,kofola,pivo,rum,fernet,vodka} -> 6 nápoju
5 hostů
Každý musí zaplatit alespon jeden napoj.

Tak by mělo byt:
$6^5$ = celkovy pocet moznosti

Varianta ze jeden nezaplati (jedina varianta kdy nekdo neplati, protoze 6 napoju a 5 lidi )
$5$

tzn.
$6^5-5 = 7771$ výsledek má být ale $1800$

zdenek1 · 07. 10. 2013 22:08

↑ Fires:
Tos to teda skutečně nepochopil
${5\choose0}\cdot 5^6-{5\choose1}\cdot 4^6+{5\choose2}\cdot 3^6-{5\choose3}\cdot 2^6+{5\choose4}\cdot 1^6$

Domki · 07. 10. 2013 22:13

Taky řeším tento příklad.
Ale chápu jen to kde vemeš toto: To znamená, že všech možných způsobů zaplacení je.
Ale to dál nějak nechápu co to má znamenat a kde to vemu? Jako podle čeho?

Fires · 18. 10. 2013 13:05

Domki napsal(a):
Taky řeším tento příklad.
Ale chápu jen to kde vemeš toto: To znamená, že všech možných způsobů zaplacení je.
Ale to dál nějak nechápu co to má znamenat a kde to vemu? Jako podle čeho?

Najde se někdo kdo by mohl zodpovědět a vysvětlit postup řešení tohoto příkladu nějak podrobněji, stále tomu nemohu nějak přijít na kloub.

Bas · 07. 10. 2017 14:33 — Editoval Bas (07. 10. 2017 14:39)

Nšel sem to až teď, ale co kdyby se ještě nekdo zajímal...

zdenek1 napsal(a):
↑ Fires:
$\cdot 5^6-{5\choose1}\cdot 4^6+{5\choose2}\cdot 3^6-{5\choose3}\cdot 2^6+{5\choose4}\cdot 1^6$

jedná se o tzv princip inkluze a exkluze (tedy součet množin) kdy musíme střídavě odečítat a sčítat průniky většího počtu množin:

S = všechny možnosti, pro n hostů při m položkách je to $n^{m}$ , protože každá položka může být zaplacena n způsoby

A, B, C, D.... = množiny všech možností, kdy 1 člověk nezaplatí (počet množin = počet lidí logicky) = $(n-1)^{m}$

AB, AC, AD, BC, BD, CD ... = průniky právě dvou množin, kdy zaráz 2 lidé nezaplatí = $(n-2)^{m}$

a pak už jen potřebujeme sečíst všechny množiny A - X, kde budeme dělat průnik a dostaneme počet možností, kdy nezaplatí jeden nebo druhý... až nebo x-tý, tedy kdy NĚKDO nezaplatí

no a VŠE mínus NĚKDO nezaplatí = každý zaplatí (alespoň jednu položku)

proto je výše použita kombinace pro určení počtu průniků:
kolik mám průniků množin A, B, C?:
1) 2: AB, AC, BC (3x)
2) 3: ABC (1x)
nebo zkusím udělat 2/3 skupiny ze 3 prvků:
1) 2: $(n!)/(n-k)\cdot k$ nebo taky ${3\choose2}$ (3x)
2) 3: ${3\choose3}$

tzn pro třeba 7 čajů a 4 lidi:
${4\choose1}3^{7} - {4\choose2} 2^{7} + {4\choose3} 1^{7} - {4\choose4} 0^{7}$

a tohle odečtu od celkového počtu možností (proč nula na sedmou? průnik všech 4 množin je přece že nikdo nezaplatí, což ale nenastane, protože někdo to zaplatit musí, tedy alespoň jeden platí vše)

$4^{7} - {4\choose1}3^{7} + {4\choose2} 2^{7} - {4\choose3} 1^{7} + {4\choose4} 0^{7}$