Matematické Fórum

stitch123

Ahoj.

Zadání zní takto: Urči hodnotu parametru $a$ tak, aby rovnice $ax+4y-25=0$ byla rovnicí tečny ke kružnici $k: x^2+y^2=25$

Když to má být rovnice tečny, předpokládám, že by se diskriminant měl rovnat nule. Proto jsem se chtěl dosazením dostat ke kvadratické rovnici, ale nějak jsem se při tom zasekl.

Z $ax+4y-25=0$ jsem vyjádřil: $y=\frac{25-ax}{4}$

které jsem pak dosadil do rovnice kružnice: $x^2+(\frac{25-ax}{4})^2-25=0$

umocnil: $x^2+\frac{625-ax^2}{16}-25=0$

vynásobil šetnácti a vyšlo tohle: $16x^2-ax^2-225=0$

Z toho ale kvadratickou rovnici udělat nemůžu, protože členy $a$ i $b$ jsou na druhou. Mohl by mi někdo poradit, jak postupovat dál? Správný výsledek by měl být $a=3$ nebo $a=-3$

Al1 · 11. 10. 2017 18:47 — Editoval Al1 (11. 10. 2017 18:50)

↑ stitch123:

Zdravím,

výraz 25-ax umocňuješ na druhou s užitím vztahu (a-b)^2. Výsledkem bude trojčlen, nikoli dvojčlen. Navíc je chyba i v umocnění ax, platí: $(ax)^{2}=a^{2}x^{2}$

Jinak rovnice $16^2-ax^2-225=0$ je samozřejmě kvadratická (pro neznámou x), je neúplná.

stitch123

↑ Al1:

Aha, už to vidím, díky za opravu.

Ale jestli správně počítám, tak mě to stejně dostane k $16x^2 + a^2x^2-50ax-225=0$ s tím taky nevím, jak pracovat dál. Napadá mě z toho něco vytknout, ale nevím, jestli mi to nějak pomůže.

V prvním příspěvku jsem zapomněl napsat x po šestnáctce, už jsem to opravil. Mělo to být $16x^2-a^2x^2-225=0$ .

EDIT: Vytknutí je na prd.

Al1 · 11. 10. 2017 19:04

↑ stitch123:
$16x^2 + a^2x^2-50ax-225=0$
v této rovnici skutečně vytkni x^2 a vypiš si koeficienty u jednotlivých členů.

Rovnice $16x^2-a^2x^2-225=0$ si už dál nevšímej.

stitch123

↑ Al1:

Uff, mám to, díky moc. +rep

Kdyby to někoho zajímalo...

Po vytknutí: $x^2(16+a^2)-50ax-225=0$

Koeficient a je (16+a^2)
Koeficient b je -50a
Koeficient c je -225

Vzorec pro výpočet diskriminantu b^2-4*ac = 0 (musí se rovnat nule, aby se jednalo o tečnu ke kružnici)

Po dosazení: $(-50a)^2-4*(-255)(16+a^2)=0$

Po umocnění, vynásobení a sečtení: $-1600a^2+14400=0$

Vyjádřit a: $|a|=sqrt(\frac{14400}{1600})$

Výsledek je +-3 :)

Al1 · 11. 10. 2017 19:45

↑ stitch123:

oprav si: správně je
$a^{2}=\frac{14 400}{1600}\nl a^{2}=9\nl |a|=3$

stitch123 · 11. 10. 2017 19:55

↑ Al1:

Ano, to jsem napsal, akorát jsem udělal několik kroků naráz, protože mi přišlo zbytečný všechno vypisovat.

14400/1600 je 9, sqrt je odmocnina. V Latexu jsem nenašel značku.

Nebo jde o ten zápis? Možná je to konvenčně špatně, to nevím.

Al1 · 11. 10. 2017 19:59 — Editoval Al1 (11. 10. 2017 20:00)

↑ stitch123:

problém není ve výsledku a jeho zápisu, je celkem běžné napsat $a=\pm 3$ . Chyba je v zápisu
$\sqrt{a^{2}}=a$ , správně je $\sqrt{a^{2}}=|a|$

stitch123 · 11. 10. 2017 20:02

↑ Al1:

Ok, opraveno. Znovu díky!

vlado_bb · 11. 10. 2017 20:18

Al1 napsal(a):
↑ stitch123:

je celkem běžné napsat $a=\pm 3$ .

Zial ano a moze to viest iba k problemom. Ak sa stretnem s obrazkom $a=\pm 3$ (pretoze za rovnost sa to povazovat neda), tak sa autora zvyknem opytat nieco taketo: Nech $a=\pm 3, b= \pm 4$ . Je $a<b$ alebo $b<a$ ? Kolko je $a+b$ ?