Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 04. 2016 15:55

check_drummer
Příspěvky: 3539
Reputace:   91 
 

Zjištění pravdy v modelu dané teorie

Ahoj,
existuje nějaký postup, jak ověřit, zda je daná formule F pravidvá (splnitelná - jde o tzv. sémantickou splnitelnost) v daném modelu M teorie T? Např. je to snadné, pokud existuje (formální, syntaktický) důkaz F v teorii T - pak je F pravidvá v každém modelu teorie T, ale o takové případy mi nejde.

Např. mě zajímají formule F, kde ani F ani negace F není dokazatelná v teorii T (viz Godelova věta o neúplnosti). Sice neumíme dokázat T ani negaci T, ale často zkoumáme nějaký konkrétní model M teorie T, u kterého by nás zajímalo, zda je v něm F pravidvá (splnitelná).

Např. mějme "běžná" reálná čísla (jejich množina je M), které jsou modelem obecné teorie T reálných čísel. Je známo, že není možné dokázat hypotézu kontinua (to je formule F) ani její negaci, ale přesto v M (což je konkrétní model teorie T) musí nastat právě jedna ze dvou možností - a sice, že buď F v M platí (je splnitelná) a nebo ne. Pokud by se např. ukázalo, že v M platí F, tak pak to znamená, že F je jednou s podstatnou vlastností M - a neváhal bych ji zařadit mezi axiomy T (a v opačném případě bych tam zařadil její negaci).

Protože postup je v tomto případě takový, že vycházíme od M, formalizujeme jej pomocí T - kde T má ovšem více modelů, ale nás zajímá jen M: a tedy i když T a formální (synaktické) důkazy jsou silným prostředkem pro zkoumání M, některé vlastností M je možné zkumat jen přímo v M... (Tj. T je zbytečně obecná a tím i slabší - pokud jde o zkoumání M.)

Děkuji za vaše názory k tomuto tématu


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#2 18. 10. 2017 14:24

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 825
Reputace:   25 
 

Re: Zjištění pravdy v modelu dané teorie

↑ check_drummer:
Ahoj,

obecný postup neexistuje. Pokud by existoval, bylo by jej možné formalizovat a pak přidat do teorie a tim by se teorie dala zúplnit, čímž bychom se dostali ke sporu s Gödellovými větami.

Jinak samozřejmě pro konkrétní model a konkrétní formuli je možné zjistit splnitelnost.

A "problém" teorie T není v tom, že je příliš obecná, ale že je rekurzivně popsatelná. Nic ti nebrání vytovřit takovou teori, jež bude mít za axiomy všechny platné formule sdandardního modelu přirozených/reálných čísel. Taková teorie bude dokonce úplná. Ve sporu s Gödellem ale nebude, protože není rekurzivně popsatelná.


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson