Matematické Fórum

↑ Regina:

já tady jen doplním kolegyni a rozepíšu, co tím vším myslela, protože jsi problém neoznačila za vyřešen, čiže možná ještě stále tápeš.
je zadán  tedy válec o objemu jednoho litru a tvým úkolem ze zadání bylo určit jeho rozměry (poloměr a výšku) tak, aby jeho povrch byl minimální, předpokládám. Dotaz nedával úplně smyslu. Povrch spočítat lze, ale ne tak, aby byl minimální, k tomu nám pomůže vhodná volba rozměrů.

Minimum pro:

(*) S = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*v

tady víš, že:

(**) 1 = pi*r^2*v

r je pak poloměr a v výška válce.

Tady si vytáhneme výšku válce v závislosti na poloměru (**) vzorcem:

v = 1/(pi*r^2)

a dosadíme do vzroce pro povrch (*) :

(***) S = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*(1/(pi*r^2)) = 2*pi*r^2 + 2/r

Tady je třeba povrch S  minimalizovat a upravený vzorec pro jeho výpočet (***) je vlastně reálná funkce jedné proměnné (r). Musíme tedy zjistit, kde má minimum. To je místo, kde má nulovou první derivaci a kladnou druhou derivaci.

čiže první derivace:

S' = 4*pi*r - 2 / r^2


je nulová pro r rovno

4*pi*r - 2/r^2 = 0
4*pi*r^3 = 2
r = odm3(1/(2*pi)) = 1/odm3(2*pi)

Druhá derivace je vždy kladná (pro kladný poloměr), a tak ji nemusíme vlatně ani konkrétně hledat.

Z () dopočítáme i výšku **v

v = 1/(pi*r^2) = odm3(2*pi)^2 * / pi = odm3(4) / odm3(pi) = odm3(4/pi)

A matematika je věda, kde si můžeme vše zpětně ověřit, proto pro kontrolu spočítáme objem s našimi hodnotami:

V = pi*r^2*v = pi*odm3(4/pi) / odm3(2*pi)^2 = pi*odm3(4/(4*pi^3)) = pi / pi = 1

Kontrola proběhla, jak vidíš, v pořádku, proto můžeme udat výsledky:

r = odm3(1/(2*pi)) dm
v = odm3(4/pi) dm

v decimetrech, protože jsme v nich udávali i objem - litr je pak dm3, jak jistě víš.



výpočet druhé derivace ještě:

S'' = (4*pi*r - 2/r^2)' = 4*pi + 4*r / r^4 = 4*pi + 4/r^3

první sčítanec je konstanty (kladná) a druhý je pro poloměr větší než nula, je vždy kladný, takže výsledek musí být kladné číslo. Znamená to, že funkce počítající povrch v závislosti na poloměru je všude konvexní. V tomhle případě se jedná o parabolu tedy.

Stejný postup by šlo spočítat i v případě, že objem válce neznáš. Dostali bychom pak informaci, v jakém poměru nastavit jeho poloměr a výšku tak, aby byl jeho povrch (při zachování objemu) co nejmenší. O což se možná snažila tvá kantorka, proto Vám zadal neznámou V ještě navíc.


Kolega, kolegyně Takjo mě může doplnit či překontrolovat. Jinak jsem s pozdravem :) Je fajn, že tohle forum pro studenty existuje.

↑ Rejdim:
Dobrý den,
k vašemu postupu není co dodat, je naprosto vyčerpávající.
Jen se blbě čte zkuste LaTeXový editor.
Snad se Regina ozve...

↑ Regina:

a súčasne (obvykle)

↑ Honzc:

Ahoj :-)

Aha... :-D

hehe

Nevedela som to nájsť v tom texte, nedocvaklo mi...