Matematické Fórum

nejsemfyzik123 · 23. 10. 2017 18:18

Dobrý den.
Na vysoké škole jsme začali brát diferenciální rovnice. Nejsou to už úplné základy a já v tom strašně plavu. Dostal jsem tři příklady, které mám vypočítat. Byl by někdo tak hodný a pomohl mi s tím prosím? Vůbec si nevím rady.

Příklady jsou zde:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-10/75343_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Všechny rovnice mají procházet body [0,6].

Předem mockrát děkuji.

Jj · 23. 10. 2017 18:50

↑ nejsemfyzik123:

Zdravím.

Řekl bych, že podle typu je:

1. Bernoulliova diferenciální rovnice,
2. Exaktní diferenciální rovnice,
3. Lineární diferenciální rovnice.

Takže požít postup řešení pro jednotlivé typy.

nejsemfyzik123 · 23. 10. 2017 22:09

↑ Jj:
Dobrý večer,
Ano, to vím. Problém je ten, že ačkoliv si najdu přesný postup řešení těchto rovnic, tak z toho jejich řešení stejně nejsem schopen odvodit.

Např. u Bernoulliovy diferenciální rovnice si mám nahradit, alespoň podle návodu, člen y^x členem u. Jenže učitelé, kteří tento postup zobrazují, jakoby přeskakovali hned několik kroků a já se v tom zkrátka ztrácím.

Jj · 24. 10. 2017 08:47

↑ nejsemfyzik123:

Tak sem můžete napsat postup řešení první rovnice do stádia, kterému ještě rozumíte. Pak můžeme pokračovat.

Ještě dodám - do jednoho dotazu patří jen jedna úloha.

nejsemfyzik123 · 27. 10. 2017 12:45

Dobře. Začnu tedy např. tou lineární. Ve wordu jsem postup sepsal a vyfotil. Postupoval jsem tímto způsobem:
1) Nahradit y' za dy/dx
2) Celou rovnici vynásobit .dx
3) Separovat od sebe x a y (y spolu s dy dostat na levou stranu rovnice, x spolu s dx na pravou)
4) Integrovat

K integraci jsem se už nedostal, protože mi přijde, že jsem musel udělat někde chybu, vychází mi podle mě celkem blbost.

Zde je postup při řešení:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-10/01113_linearni.PNG

Předem děkuji.

jarrro · 27. 10. 2017 16:26

$y^{\prime}=-\frac{$x+6$$y+6x$+6$2x+6$+y}{x+6}\nl y^{\prime}=-$y-36+6x+36+12+\frac{y-36}{x+6}$\nl y^{\prime}=-$\(y-36$$1+\frac{1}{x+6}$+6$x+6$+12\)\nl z^{\prime}=-z$1+\frac{1}{t}$-6t-12\nl \ln{$z$}=-t-\ln{$t$}\nl z=\frac{C\mathrm{e}^{-t}}{t}\nl \frac{C^{\prime}\mathrm{e}^{-t}}{t}+\frac{C$-t\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-t}$}{t^2}=-\frac{C\mathrm{e}^{-t}}{t}$1+\frac{1}{t}$-6t-12\nl C^{\prime}=-6$t^2+2t$\mathrm{e}^{t}$

nejsemfyzik123 · 28. 10. 2017 13:37

↑ jarrro:

Mockrát děkuji! Na to bych rozhodně nepřišel.

Jj · 29. 10. 2017 18:52 — Editoval Jj (29. 10. 2017 19:14)

nejsemfyzik123 napsal(a):
Např. u Bernoulliovy diferenciální rovnice si mám nahradit, alespoň podle návodu, člen y^x členem u. Jenže učitelé, kteří tento postup zobrazují, jakoby přeskakovali hned několik kroků a já se v tom zkrátka ztrácím.

Obecný postup řešení rovnice uvedeného typu viz třeba tady: Odkaz

U zadané rovnice pak takto:

$(x+7)y'=\frac{y}{x+8}+y^2(x+6)=0$

Upravit na základní tvar Bern. rovnice:
$y'-\frac{1}{(x+8)(x+7)}\cdot y=-\frac{x+6}{x+7}\cdot y^2$ , tj. n = 2

Rovnici dělit výrazem $y^n$ , tj. pro n = 2 dělit výrazem $y^2$ :
$\frac{y'}{y^2}-\frac{1}{(x+8)(x+7)}\cdot\frac1y=-\frac{x+6}{x+7}$
Teď substituce $y^{1-n} = u$ , tzn. pro n = 2:

$y^{1-2} = u \Rightarrow \frac1y = u$ což po derivaci obou stran $$\frac1y$'= u'$ dá $\frac{y'}{y^2}=-u'$

Takže po substituci a úpravě dostaneme lineární diferenciální rovnici pro funkci u(x):
$u'+\frac{1}{(x+8)(x+7)}\cdot u=\frac{x+6}{x+7}$

Tu vyřešit a 'zpětnou' substitucí $u = \frac1y$ dostaneme hledanou funkci y(x).

Edit - doplněno:

Múže být účelné zadat řešení programu MAW Odkaz (uvede i možný postup řešení po krocích).