Matematické Fórum

AndrejR · 31. 10. 2017 16:09

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-10/62464_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Myslel jsem, že to půjde jednoduše napsáním

$x=x_{m}cos(wt+\varphi )$

případně

$x=Ae^{iwt}e^{i\varphi }$

a pak dostanu soustavu dvou rovnic, ale vždy to dopadne tak, že mi všechno vypadne a nemůžu ani na amplitudu, ani počáteční fázi přijít.
Jak na to?

Ferdish

Na riešenie postačí úplne prvý (kosínový) vzorec; druhý (komplexný) je síce tiež správny, len je všeobecnejší, lebo vyplýva priamo z riešenia homogénnej diferenciálnej rovnice.

Výchylka je funkciou času, teda $x=x(t)$ . V zadaní máš dané dve rôzne hodnoty výchylky pre dva rôzne časy; jedna z nich je dokonca pre hodnotu $t=0$ , čo je v takýchto príkladoch veľmi výhodné :-)

Dosaď za $t=t_1$ a $x=x_1$ do vzorca a vyjadri si buď fázu ako fciu amplitúdy alebo amplitúdu ako fciu fázy (záleží len na tebe, čo z toho si zvolíš).
To potom dosaď znova do vzorca spolu s $t=t_2$ a $x=x_2$ , vypočítaj hodnotu premennej ktorá ti ostala ako neznáma a dopočítaj pomocou nej druhú.

AndrejR · 31. 10. 2017 16:59

Když půjdu přes φ, tak se dostanu na

$-0,014=x_{m}cos(wt_{2}+arccos(\frac{0,03}{x_{m}})$

a nevím, jak z toho pak tu apmlitudu dostat.

zdenek1 · 31. 10. 2017 17:04

↑ AndrejR:
vzhledem k $t_1=0$ máš
$x_1=A\cos\varphi$ , z čehož $A=\frac{x_1}{\cos\varphi}$ (1)
dosazením do druhé rovnice a použitím vztahu pro $\cos(\alpha+\beta)$ máš
$x_2=A(\cos \omega t_2\cos\varphi -\sin \omega t_2\sin \varphi )=\frac{x_1}{\cos \varphi }(\cos \omega t_2\cos\varphi -\sin \omega t_2\sin \varphi )$
$x_2=x_1\cos \omega t_2 -x_1\sin \omega t_2\tan \varphi$

z toho už snadno dostaneš $\varphi$ , a pak z (1) amplitudu