Matematické Fórum

AterCZ · 02. 11. 2017 18:16 — Editoval AterCZ (02. 11. 2017 18:19)

Dobrý den,
mohl bych poprosit o rychlou pomoc (zítra z toho píšeme), jak správně složit tyto dvě funkce?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-11/42617_22861444_1585652491519511_8313764279746957456_o%2B%25281%2529.jpg

Mně $k(l(x)$ vyšlo $sgn(\log_{\frac{1}{3}}x+3)$ , z toho potom, že pro $sgnx=0$
$\log_{\frac{1}{3}}x+3=0$
$\log_{\frac{1}{3}}x=-3$
$\frac{1}{3}^{-3}=x$
$x=27$

vlado_bb · 02. 11. 2017 18:56

↑ AterCZ: Z toho, co si uviedol ako zadanie ale vidiet iba to, ze mas najst obidve zlozenia. Treba aj ich nulove boly? A mimochodom, ako si dostal v zatvorke $+3$ ? To urcite nie je v poriadku.

AterCZ · 02. 11. 2017 19:03

↑ vlado_bb: zadání je najít složenou funkci a najít její graf (ty grafy jsme dostaly jako řešení). K $+3$ jsem došel:
$sgn(\log_{\frac{1}{3}}x+2+1)$

vlado_bb · 02. 11. 2017 19:06

↑ AterCZ: Ale funkcia $l$ je predsa $\log_{\frac{1}{3}}(x+2)$ a nie $\log_{\frac{1}{3}}x+2$ .

AterCZ · 02. 11. 2017 20:17 — Editoval AterCZ (02. 11. 2017 20:22)

↑ vlado_bb: díky. Už jsem se dohrabal k $y=\log_{\frac{1}{3}}(x+2)+1$
Už také vím, že pro $sgnx=0$ je $x=1$ . Poslední věc, co mi není jasná je, proč úsečka, která protíná osu y je nahoře v 1 a ne dole v -1. Poradili byste mi prosím?

Potom nevím, jak postupovat s $m2$ , vyšlo mi $\log_{\frac{1}{3}}[sgn(x+1)+2]$ . Můžu se zeptat, jak nakreslím graf? Jak spočítám x v $sgn(x+1)=-2$ ?

vlado_bb · 02. 11. 2017 21:18

↑ AterCZ: "Už jsem se dohrabal k $y=\log_{\frac{1}{3}}(x+2)+1$ " ... to ale nie je spravne, kam zmizlo $sgn$ ? Druha funkcia je spravne a pokial ide o graf, vyraz sa znacne zjednodusi, ak odstranis $sgn$ , teda zapises si ho osobitne tam, kde $sgn$ je $-1,0,1$ . To s hodnotou v $0$ bude jasnejsie ked spravne zapises $m_1$ .

vlado_bb · 02. 11. 2017 21:50

AterCZ napsal(a):
Jak spočítám x v $sgn(x+1)=-2$ ?

Hodnota funkcie $sgn$ nemoze byt $-2$ .

Rumburak

↑ AterCZ:
Ahoj.

Sice už to asi není aktuální, nicméně svůj přístup k úloze zde uvedu - třeba pro příště.

Máme tedy zadány funkce

(1) $k(x) := \text{sgn}(x+1)$ , $l(x) := \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$

s úkolem podrobněji zapsat předpisy funkcí $k\circ l$ , $l\circ k$ . Formálně je to velmi
jednoduché, jde jen o to dosadit do předpisu vnější funkce předpis vnitřní funkce, tedy

(2) $(k\circ l)(x) = k(l(x)) = \text{sgn}(l(x)+1) = \text{sgn}(\log_{\frac{1}{3}}(x+2)+1)$ ,

(3) $(l\circ k)(x) = l(k(x)) = \log_{\frac{1}{3}}(k(x)+2) = \log_{\frac{1}{3}}(\text{sgn}(x+1)+2)$ .

Tím ale řešení úlohy nekončí. Měly by být určeny též definiční obory funkcí (2), (3). V obou
případech nutno respektovat definiční obor logaritmické funkce, jímž je $(0, +\infty)$ .

U funkce (2) to znamená vyřešit podmínku $x+2 > 0$ , u funkce (3) nutno vyřešit
podmínku $\text{sgn}(x+1)+2 > 0$ (jíž ovšem vyhovují všechna reálná čísla, jak je
zřejmé z oboru hodnot funkce signum).

S definičním oborem funkce signum problémy nejsou, neboť jest jím množina všech reálných
čísel.