Matematické Fórum

math.oaf · 12. 05. 2009 21:13

Zdravim vsetkych, trapi ma tato otazka: vieme, ze f(x) mozno rozvinut do taylorovho radu, vtedy ked ${\lim}\limits_{n \to \infty}R_n(x)=0$ , que:Je mozne urcit vsetky x pre ktore plati:
$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x-a)^n$ tym, ze urcim, kedy tento rad konverguje (ako u mocninoveho radu)?, rady, co som zatial pozeral tak to platilo..., ale nedava mi zmysel naco by to v knihe urcovali cez zvysok, alebo ohranicovanim $|f^{(n)}(x)| \le M$ , ked by stacilo ${\lim}\limits_{a \to \infty} {\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}}$ , ak by to tvrdenie samozrejme platilo, tak to je moja dilema..., nech je odpoved akakolvek, tak prosim strucne aj preco :D.dik

Rumburak

Tayl. řadou fce f je formálmě vytvořená mocninná řada $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x-a)^n$ (SČÍTÁ SE OD n = 0), která má svůj konvergenční kruh.
Samotnou konvergencí této řady v bodě x ale není ještě zaručeno, že platí $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x-a)^n$ .
Podmínka ${\lim}\limits_{n \to \infty}R_n(x)=0$ je silnější - vyplývá z ní za prvé že řada konverguje, za druhé že její součet v bodě x je f(x).

Příklad: $f(x) = \exp (-\frac{1}{x^2})$ pro x <> 0 , v nule dodefinujeme fci f spojitě nulou. Všechny její derivace v bodě 0 jsou 0.
Tayl. řada této fce o středu 0 proto konverguje v každém bodě x k hodnotě 0, ač zřejmě pro x <> 0 je f(x) <> 0.

math.oaf · 13. 05. 2009 17:47

↑ Rumburak: zdravim, je to pekny, i ked vykonstruovany,umely priklad, nikdy by som sa ale nezaoberal radom s nulovymi clenmi, lebo to je trivialny pripad, a tam niet co riesit... , mna zaujimaju "pekne funkcie" , teda nemaju derivacie vsetkych radov nulove. Tak otazku trochu spresnujem ci existuje rad $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x-a)^n$ rovnomerne konvergentny konvergujuci k
fukcii $g(x)\ne f(x)$ ??? Pre funkcie $e^x, sin x, cos x, (1+x)^p, ln(1+x), ln\frac{1+x}{1-x}, arctg x, a\ dalsie...$ plati, ze ich mozno rozvinut do tayl. radu pre tie x, pre ktore ich tay.r. konverguje okrem krajnych bodov intervalov (pretoze tie som neoveroval :D).

kaja(z_hajovny)

treba pokud volime f(x)=sin(x)+exp(-1/x^2) ;)

math.oaf · 13. 05. 2009 18:04

↑ kaja(z_hajovny):
myslis, akoze dodefinovat, exp(-1/x^2) aby v 0 bola spojita, tak ako to urobil ↑ Rumburak:, je tak to je pekny uskok :D, scitat 2 rady, pre jeden to ,ide pre druhy nie, a mame rad pre ktory to nejde, ale isto vies ze taku nehladam, a nemyslim ze je to odpoved na moju otazku..., ale rozsirujem tu podmienku "pekná funkcia"=spojita na svojom prirodzenom D(f), dufam ze to bude stacit a nenajde zase "nejaky lysiak" naku skaredu funkciu, ktoru som z peknych nevihodil:D:D.

Rumburak

↑ math.oaf: Problém, který Tě trápí, spadá do teorie komplexních funkcí komplexní proměnné,
jmenovitě do teorie tzv. holomorfních funkcí a rozvoje funkcí v Laurentovu řadu (což je zobecnění Taylorovy řady).
Těmi "pěknými" funkcemi reálné proměnné rozvinutelnými v Tayl. řadu jsou právě takové funkce, jejichž definiční
obor lze rozšířit i do množiny komplexních čísel, a to rozšířit takovým způsobem, aby potom měly v bodě, který bereme
jako střed rozvoje, a v jeho okolí DERIVACI PODLE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ, což je mnohem silnější vlastnost než
existence derivace reálné funkce reálné proměnné. Má-li fce derivaci podle kompl. prom., má ji i podle reálné prom. ,
ale opačně tomu tak být nemusí. Funkce, kterou jsem uvedl jako příklad, se sice dá rozšířit do komplexního oboru,
ale ne tak, aby v bodě 0 měla derivaci podle komplexní proměnné (ač podle reálné proměnné zde derivaci má)
a to je ta příčina, proč ji nelze rozvinout do TŘ se středem v bodě 0. Téma je ale příliš rozsáhlé, než aby se celé
vešlo do této diskuse.

Ještě drobnou poznámku: z uvedeného je doufám zřejmě, že k tomu, aby funkce byla "pěknou funkcí" (tj. nechala
se rozvinout v Tayl. řadu) nestačí její spojitost - ta je pouze nutnou podmínkou. Ze spojitosti funkce například vůbec
neplyne existence její derivace (existují funkce spojité na intervalu, které nemají derivaci v žádném bodě tohoto
intervalu).

math.oaf · 15. 05. 2009 11:00

↑ Rumburak: k poznamke , hej to mi je jasne, plynie to hned z toho prikladu $f(x) = \exp (-\frac{1}{x^2})$ , je spojita, ale skareda(myslim ze neanalyticka, hadam...) v x=0 az az. :)
A nevies zuzit mnozinu vsetkych funkcii( urcenim nejakej ale jednoduchej vlastnosti) s postacujucou podmienkou ${\lim}\limits_{n \to \infty}R_n(x)=0$ , aby rovnomerna konvergencia na tej zuzenej mnozine, bola pre ich rozvinutelnostdo taylorvho radu postacujucou podmienkou?, alebo to nejako je"jednoducho nejde"? Pochopil som, ze vysvetlit to by bolo neskutocnitelne, tak aspon tu vlastnost..., dik.

Rumburak

Rozumím-li dobře, chceme nelézt podmínku P takovou, aby platila věta

A. "Splňuje-li funkce f podmínku P a je-li její TŘ se středem v bodě c stejnoměrně konvergentní v nějakém otevřeném okolí U(c) bodu c,
pak na tomto okolí je součet této TŘ roven fci f."

???

Touto podmínkou P je, že fce f má v U(c) (včetně bodu c) derivaci podle komlexní proměnné (tj. fce f je v U(c) holomorfní; v komplexní analýze
se dokazuje, že taková fce pak má na této množině derivace všech řádů a lze ji lokálně rozvinout v TŘ). Pokud by existovala místo takto formulované
podmínky P nějaká slabší, která by ji mohla ve větě A nahradit, aniž by věta ztratila platnost (ale žádná jednoduchá podmínka toho druhu mne
nenapadá), pak by v této souvislosti byla "slabší podmínkou" jen formálně, protože funkce rozvinutelná v TŘ je v bodech konvergence řady NUTNĚ
holomorfní.
Že se u konvergence řady ve větě A předpokládá stejnoměrnost, není podstatné (každá mocninná řada konverguje uvnitř svého konverg. kruhu
lokálně stejnoměrně, což znamená stejnoměrně na každé kompaktní množině ležící uvnitř konv. kruhu, tedy i na každém okolí U(c), jehož uzávěr
je částí vnitřku konv. kruhu).

Místo "holomorfní funkce" se někdy říká "analytická funkce", ale termín AF se také používá pro cosi jiného (a nejsou to ani funkce v běžném smyslu),
proto v souvislostech, které probíráme, bych raději používal označení "holomorfní funkce".

math.oaf · 15. 05. 2009 16:24

diki moc, teraz ked to citam znova, tak vidim DERIVACI PODLE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ, ze si to uz pisal, no hold takym ako ja, to treba aspon dvakrat zopaknut :D

alexandria · 18. 05. 2009 09:20

s tymto mam problem a hlavne posledny priklad...prosim vas skuste mi to vyriesit budem vam veeeelmi vdacna....:))

Rumburak · 18. 05. 2009 09:49

↑ alexandria:
k 6. příkladu: Rozvineme funkci exp (f(x)) do M. řady, tj. do Tayl. řady se středem v bodě 0, tu "zaokrouhlíme" na součet prvých tři členů,
což již je pouze polynom v prměnné x, ktarý pak zintegrujeme.

Matematické Fórum

#1 12. 05. 2009 21:13

Taylorov rad

#2 13. 05. 2009 09:39 — Editoval Rumburak (13. 05. 2009 09:53)

Re: Taylorov rad

#3 13. 05. 2009 17:47

Re: Taylorov rad

#4 13. 05. 2009 17:50 — Editoval kaja(z_hajovny) (13. 05. 2009 17:51)

Re: Taylorov rad

#5 13. 05. 2009 18:04

Re: Taylorov rad

#6 14. 05. 2009 09:51 — Editoval Rumburak (14. 05. 2009 16:20)

Re: Taylorov rad

#7 15. 05. 2009 11:00

Re: Taylorov rad

#8 15. 05. 2009 13:46 — Editoval Rumburak (15. 05. 2009 13:57)

Re: Taylorov rad

#9 15. 05. 2009 16:24

Re: Taylorov rad

#10 18. 05. 2009 09:20

Re: Taylorov rad

#11 18. 05. 2009 09:49

Re: Taylorov rad

Zápatí