Matematické Fórum

Spyke · 14. 05. 2009 18:47

Dobrý den,
opět se na Vás obracím s prosbou. Musím spočítat diferenciální rovnici, v tom není problém, obecné řešení(úkol č.1) sem již našel, bohužel nevím jak přesně udělat úkoly 2 a 3. Pokud by jste mi mohli pomoct, budu Vám vděčen.

Úkoly:
1. Vypočítejte obecné řešení zadané diferenciální rovnice.
2. Vypočítejte dvě partikulární řešení této rovnice podle zadaných počátečních podmínek:
a.) y(0)=1 ; y'(0)= -1
b.) y(0)=0 ; y'(0)= 1
3. Tato partikulární řešení nakreslete do grafu pro všechna $x\epsilon\<-1;3\>$ .

Zadání:
$y''+3y'=4e^x$

Řešení:
$y_h=c_1+c_2\cdot e^{-3x}$
$y_p=e^x\cdot A$
$y_o=c_1+c_2\cdot e^{-3x}+e^x$

ttopi · 14. 05. 2009 18:59

Ty podmínky jsou celkem jednoduché.

Máš obecné řešení
$y=C_1+C_2e^{-3x}$
A ty víš, že pro $x=0$ vyjde $y=1$

dosadím tedy $x=0$ a mám $y=C_1+C_2e^{0}=C_1+C_2=1$

Pak víš, že $y\prime=-1$ pro $x=0$

Udělám tedy derivaci y: $y\prime=-3C_2e^{-3x}$ a dosadím tam $x=0$ . Dostávám $-1=-3C_2\nlC_2=\frac13$ a tedy $C_1=1-C_2=\frac23$ .

Ty druhýpodmínky obdobně

Doufám, že se nepletu, dlouho jsem diferenciální rovnice nedělal :-)

Spyke · 14. 05. 2009 19:41

Snad jsem to pochopil správně:)

1. partikulární řešení tedy bude vypadat takto: $y=\frac23+\frac13 e^{-3x}$ a 2. partikulární řešení takto: $y=\frac13-\frac13 e^{-3x}$

Doufám, že sem to ve druhém případě počítal správně, raději přidám i stručný postup:

#1 Dosadím $x=0$ do obecného řešení: $y=C_1+C_2e^{0}=C_1+C_2=0$
#2 Derivace bude vypadat stejně jako u prvního případu: $y\prime=-3C_2e^{-3x}$
#3 Dosadím tedy $x=0$ a dostanu $1=-3C_2$ , z čehož $C_2=-\frac13$ .
#4 A jelikož $C_1+C_2=0$ musí být $C_1=\frac13$ .

Pokud je to špatně, budu rád, když mě na to upozorníte.

A ještě poslední věc - jak s tím grafem?

Předem děkuji za případné rady.

ttopi · 14. 05. 2009 19:43

↑ Spyke:

Pokud jsem to já pochopil dobře, tak je to dobře, ale ruku do ohně bych za to fakt nedal. :-)

Spyke · 14. 05. 2009 20:14

↑ ttopi:

Uvidíme jestli se vyjádří ještě někdo. Tento postup by mi vyhovoval, čekal sem totiž něco těžkého a tohle řešení mě mile překvapilo..:) Jinak nevíš, jak na ten graf?

kaja(z_hajovny) · 14. 05. 2009 20:20

Graf funkce $y=\frac23+\frac13 e^{-3x}$ vznikne natahovanim a posunovani grafu funkce exp(-x), probira se to na strednich skolach, nebo v prvaku na zemedelce. Staci takto?

Spyke · 14. 05. 2009 21:28

Myslíte, že je reálné, aby výsledný graf vypadal takto?

Teď už jen, aby to počítání partikulárních řešení bylo správně..;)

jendula11 · 14. 05. 2009 21:39

↑ Spyke:
myslím že by to spíše mělo vypadat takto:

Spyke · 15. 05. 2009 13:52

↑ jendula11:
No to se mi moc nezdá, již 3 programy mi ukázaly stejný výsledek jaký jsem sem postnul. Ale co je hlavní, kdyby graf vypadal, jak tvrdíš ty, proč by pak v zadání bylo ať tyto partikulární řešení zakreslíme do grafu pro všechna $x\epsilon\<-1;3\>$ .

kaja(z_hajovny)

protoze na intervalu (-1,3) to ma "celkem rozumne hodnoty". Na intervalu od -6 jsou funkci hodnoty cisla s sesti nulama a ten posun o 2/3 nahoru tam potom jaksi nevynikne :)

Spyke · 15. 05. 2009 14:02

↑ kaja(z_hajovny):
Pochopil sem, co si napsal, bohužel sem v tom nenašel odpověď na mou otázku..:) Tkž ten můj graf je správně?

kaja(z_hajovny)

on nejak nejde videt ..... (Firefox + linux)

Edit: Tak v opere videt jde. Asi to tak opravdu vypada, ale ja bych to spis nakreslil rucne a vyznacil tam asymptoty y=1/3 a y=2/3. Ale zalezi na tom, jak je kdo zvykly to delat.

Spyke · 15. 05. 2009 14:16 — Editoval Spyke (15. 05. 2009 14:22)

Upnul jsem ho tedy na imgupload, již ho vidíš?

Edit: Pokud ho však zadám bez závorek, vyjde mi takto:

Přikládněl bych se spíš k té první variantě, ale pokud mi někdo potvrdí či vyvrátí, co si myslím, budu jen rád.

kaja(z_hajovny) · 15. 05. 2009 14:31

prvni varianta

btw: pro pocitani obecnych a partikularnich reseni lze pouzit http://user.mendelu.cz/marik/maw/index. … ;form=lde2

pro kresleni grafu http://user.mendelu.cz/marik/maw/gnuplot.html a zadani 2/3+1/3*exp(-3*x), 1/3-1/3*exp(-3*x) a pochopitelen meze od -1 do 3 (meze pro y nechat volne)

Spyke · 15. 05. 2009 14:42

Díky za Váš čas a ochotu, teď už by to mělo být vše..:)

Matematické Fórum

#1 14. 05. 2009 18:47

Diferenciální rovnice

#2 14. 05. 2009 18:59

Re: Diferenciální rovnice

#3 14. 05. 2009 19:41

Re: Diferenciální rovnice

#4 14. 05. 2009 19:43

Re: Diferenciální rovnice

#5 14. 05. 2009 20:14

Re: Diferenciální rovnice

#6 14. 05. 2009 20:20

Re: Diferenciální rovnice

#7 14. 05. 2009 21:28

Re: Diferenciální rovnice

#8 14. 05. 2009 21:39

Re: Diferenciální rovnice

#9 15. 05. 2009 13:52

Re: Diferenciální rovnice

#10 15. 05. 2009 13:54 — Editoval kaja(z_hajovny) (15. 05. 2009 13:55)

Re: Diferenciální rovnice

#11 15. 05. 2009 14:02

Re: Diferenciální rovnice

#12 15. 05. 2009 14:11 — Editoval kaja(z_hajovny) (15. 05. 2009 14:14)

Re: Diferenciální rovnice

#13 15. 05. 2009 14:16 — Editoval Spyke (15. 05. 2009 14:22)

Re: Diferenciální rovnice

#14 15. 05. 2009 14:31

Re: Diferenciální rovnice

#15 15. 05. 2009 14:42

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí