Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 11. 2017 07:31 — Editoval stuart clark (15. 11. 2017 07:35)

stuart clark
Příspěvky: 1011
Reputace:   
 

Binomial summation

$\displaystyle \sum\sum_{0 \leq i < j < k  \leq n}\sum 2017$

Offline

 

#2 15. 11. 2017 09:40 — Editoval kerajs (15. 11. 2017 09:49)

kerajs
Příspěvky: 234
Reputace:   20 
 

Re: Binomial summation

$n>1$

$...=2017 \cdot  \sum_{i=0}^{j-1}( \sum_{j=i+1}^{k-1} ( \sum_{k=j+1}^{n} 1)) =2017 \cdot  \sum_{l=1}^{n-1}T_l =...$
$T_l$ - trojúhelníkové číslo (triangular number)

a)
$n=2p+1$
$...=2017 \cdot (4+16+36+...+(2p)^2)=2017\cdot 4\cdot (1^2+2^2+3^2+...+p^2)=$
$=2017\cdot 4 \frac{p(p+1)(p+2)}{6}= \frac{2017(n-1)(n+1)(n+3)}{12}$

b)
$n=2p$
.....
.....

Offline

 

#3 15. 11. 2017 19:11 Příspěvek uživatele check_drummer byl skryt uživatelem check_drummer. Důvod: Objevena chyba - 4. možnost je 023

#4 15. 11. 2017 19:18

check_drummer
Příspěvky: 3878
Reputace:   91 
 

Re: Binomial summation

↑ stuart clark:
Hi, is it $2017.{n+1 \choose 3}$? because i,j,k is number of 3 members sets in {0,..,n}


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#5 15. 11. 2017 22:01

kerajs
Příspěvky: 234
Reputace:   20 
 

Re: Binomial summation

kerajs napsal(a):

a)
$n=2p+1$
$...=2017 \cdot (4+16+36+...+(2p)^2)=2017\cdot 4\cdot (1^2+2^2+3^2+...+p^2)=$
$=2017\cdot 4 \frac{p(p+1)(p+2)}{6}= \frac{2017(n-1)(n+1)(n+3)}{12}$

$2017\cdot 4\cdot (1^2+2^2+3^2+...+p^2) \not = 2017\cdot 4 \frac{p(p+1)(p+2)}{6}$
Sorry

$2017\cdot 4\cdot (1^2+2^2+3^2+...+p^2) = 2017\cdot 4 \frac{p(p+1)(2p+1)}{6}=$
$=2017\cdot 4 \frac{\frac{n-1}{2}(\frac{n-1}{2}+1)(2\frac{n-1}{2}+1)}{6}=$
$=2017\cdot 4 \frac{\frac{n-1}{2}(\frac{n+1}{2})(n)}{6}=$
$=2017\cdot  \frac{(n-1)(n+1)(n)}{6}=2017 {n+1 \choose 3} $

b)
$n=2p$
$...=2017 \cdot (4+16+36+...+(2p-2)^2)+2017\cdot T_{2p-1}=$
$=2017\cdot 4 \frac{(p-1)(p-1+1)(2(p-1)+1)}{6}+2017\frac{(2p-1)2p}{2}=$
$=2017\cdot 4 \frac{(\frac{n}{2}-1)(\frac{n}{2})(n-1)}{6}+2017\frac{(n-1)n}{2}=$
$=2017{n+1 \choose 3}$

Offline

 

#6 16. 11. 2017 09:13

stuart clark
Příspěvky: 1011
Reputace:   
 

Re: Binomial summation

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson