Matematické Fórum

Andrejka3 · 17. 11. 2017 17:35

Ahoj.
Zjisti všechna n, pro která platí: `Čtverec lze beze zbytku rozdělit na $n$ (ne nutně stejných) čtverců.'
Rozdělením máme na mysli řezy rovnými čarami.
Popiš pro každé n konstrukci.

Darko · 17. 11. 2017 20:41

Řekl bych, že pro všechna taková n, pro která existuje v $\mathbb{N}$ druhá odmocnina.

Vlasně $\mathbb{N}^{2}$ , pokud to interpretuji jako přirozená čísla umocněná na druhou, ne uspořádané dvojice z N.

Andrejka3 · 17. 11. 2017 21:10

↑ Darko:
A zkusil bys mi napsat postup, jak rozdělit čtverec třeba na 9 čtverců? Nebo nakreslit obrázek?

vanok · 17. 11. 2017 21:13 — Editoval vanok (17. 11. 2017 21:54)

Ahoj ↑ Darko:,
Hmm. Ja mam riesenie napr. na rozdelenie daneho stvorca napr. na 6;7;8 stvorcov.
( tie nie su take ako pises, cize su aj ine riesenia).

edison · 17. 11. 2017 21:54

Pro začátek by bylo zajímavé dokázat, že obecné pravidlo, které ta všechna n musí splňovat, může existovat, nebo naopak dokázat, že takové pravidlo existovat nemůže.

Taky by bylo dobré upřesnit, zda ty dělící čáry vždy procházejí celým základním čtvercem, nebo můžou končit uvnitř.

Poznámka: Když si představím, s jak mizernými výsledky bádali matematici nad tzv. dokonalými čtverci, tak jsem dost skeptický k nějakému obecnému řešení.

Darko · 17. 11. 2017 22:08 — Editoval Darko (17. 11. 2017 22:39)

↑ vanok:

To si neumím představit. Můžeš uvést konkrétní příklad jak by jsi čtverec na takovýto počet rozdělil?

aka vyvrať moje tvrzení protipříkladem

Tady jsem vykreslil takový obrázek na hraní, je tam vidět jak to vyrýsovat (kromě dělení stran).
Je vidět:
// Všimni si, že když je ve čtverci jen 1 čára, musí být uprostřed, aby vznikly čtverce, jinak vzniknou i obdélníky.
// 2 čáry musíš dát do 1/3 a 2/3 strany, aby vznikly čtverce, atd...
- Strany musí být rovnoměrně rozděleny, aby vznikly čtverce.
- vznikne právě n^2 čtverců.
//jinak to nejde, nebo aspoň jinou variantu nevidím.

https://www.geogebra.org/m/ekf9FkTq

vanok · 17. 11. 2017 22:34 — Editoval vanok (17. 11. 2017 22:36)

↑ Darko:,
Napriklad na 7 stvorcov, rozdel stvorec na 4 casti tak aby ti to dalo 4 rovnake stvorce, a jeden zo 4roch stvorcov zasa na 4 casti
( tak, mas na koniec 4 « male » a 3 « velke » stvorce, cize do kopy 7). Ine ti necham hladat!

A nezabudni odpovedat na otazku od ↑ Andrejka3: !

Darko · 17. 11. 2017 22:41

↑ vanok: řez rovnou čarou vnímám jako řez přímkou. řez úsečkou jsem ještě neviděl :D

@Andrejka a jiní, editoval jsem předchozí příspěvek..

vanok · 17. 11. 2017 22:57

↑ Darko:,
No to je vec definicie.
V praktickom zivote ked sa kraja kolac, tak sa to robi vdaka useckam.

No pockajme ako to je myslene v ↑ Andrejka3:.

Darko · 17. 11. 2017 23:23 — Editoval Darko (18. 11. 2017 02:22)

↑ vanok:
Ne že by matematika v reálném životě úplně fungovala, ale určitě by to udělalo příklad zajímavější..

Andrejka3 · 18. 11. 2017 00:13

↑ edison:
Rovná čára nemusí procházet celým čtvercem, tak jako jsem níže rozřízla obdélník

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Tím jsem asi odpověděla na většinu otázek.
↑ Darko:
Nešlo by to nějak zjednodušit, prosím?

edison · 18. 11. 2017 00:39 — Editoval edison (18. 11. 2017 01:06)

Nakonec je to vlastně jednoduché:

Nejmenší dělení je na 4, nevím zda jde 5, ale Vanok umí 6, 7, 8.

Protože každý čtverec lze rozdělit na 4, dá se jakékoli dělení zvyšovat o všechny celočíselné násobky 3.

Takže možná čísla jsou 4 + všechna přirozená čísla počínající 6, pokud má Vanok pravdu. Pokud ne, začíná to od 7.

Edit: Tak jsem na to ještě kouknul a ano, Vanok má pravdu, takže:

$n \in (\mathbb{N}\ge 6) + \{4\}$

Darko · 18. 11. 2017 01:53 — Editoval Darko (18. 11. 2017 02:21)

↑ Andrejka3:

zjednodušení mě nenapadá..

z↑ edison:

menší oprava: Nejmenší dělení je 1, celý čtverec.

edison · 18. 11. 2017 02:01

↑ Darko:
Rozdělme čtverec na 9 stejných dílů (3x3) a potom dejme tomu 4 čtverce počínaje levým dolním rohem spojme do jednoho. Dostaneme 1 velký a 5 malých, dohromady 6. Tvůj algoritmus je zjevně chybný, pokud to nepřipouští:-)

edison · 18. 11. 2017 02:12 — Editoval edison (18. 11. 2017 02:15)

Takže abych to shrnul:

1. Každý čtverec můžeme rozdělit na 4 díly, tedy jsou všechny 4+3N
2.↑ edison: je popsán způsob, jak docílit 6 a tedy 6+3N
3. (1) dává jako druhý výsledek 4+3=7
4. Pokud uděláme totéž jako (2), ale s 4x4 a spojením 3x3, dostaneme 7+1=8, tedy 8+3N

Tím máme souvislou řadu 3 hodnot a jestliže ke každé z nich lze přičíst libovolné 3N, kde N je přirozené číslo, dostáváme všechna následující přirozená čísla. Tedy včetně 11, nebo třeba 12345678987654321.

Darko · 18. 11. 2017 02:20 — Editoval Darko (18. 11. 2017 02:25)

↑ edison:
to je pravda, takové "spojované" čtverce neřeší.

Dal by se sice udělat podobný ale tohle je asi jednodušší.

Mimochodem správné řešení by mělo být

$n = \mathbb{N}\setminus \{2, 3, 5\}$

edison · 18. 11. 2017 02:25

Ještě poznámka: To dělení lze provádět i jinými způsoby, takže se dá očekávat, že čím vyšší číslo, tím větší počet způsobů, jak takového počtu dílů dosáhnout.

Např. 11 lze získat i takto:

Čtverec 6x6 vodorovně rozpůlíme, dolní půlku rozpůlíme na dva 3x3, nahoře uděláme pruh 3 čtverců 2x2 a zbylé místo mezi horní a dolní řadou vyplníme šesti 1x1. Celkem 2+3+6=11

Andrejka3 · 18. 11. 2017 11:21

↑ edison:↑ Darko:
Pěkné. Tak jste to vyřešili.
Možná hnidopich jako já by chtěl vysvětlit proč nejde 3 nebo 5.

vanok · 18. 11. 2017 14:29

↑ Andrejka3:,
Pozdravujem,
Ano to je dobry dokaz, a jasne, ze ho treba doplnit pre n=2;3;5.

Mohli by sme sa pytat vela vela dalsych veci.

Naprklad, pre ake n, existuju stvorce ktorych rozdelenie je vytvorene zo stvorcov roznych velkosti?

Poznamka.
Zda sa, ze tento problem sa objavil v knihe od Dudeney : Amusement in Mathematics, 1917 ( problem 173).

Andrejka3

↑ vanok:
Ahoj.
Úloha rozložit čtverec o straně n na několik čtverců, z nichž každý má stranu prvočíselné nebo jednotkové délky. Najít pro dané n minimální počet čtverců v rozkladu... Jsou otevřené problémy. A asi zůstanou, z podstaty věci (prvočísla).
Díky. Pěkná zábava.

vanok · 19. 11. 2017 18:27 — Editoval vanok (19. 11. 2017 18:29)

Ahoj ↑ edison:,
Vyssie si napisal

Poznámka: Když si představím, s jak mizernými výsledky bádali matematici nad tzv. dokonalými čtverci, tak jsem dost skeptický k nějakému obecnému řešení.

Co su to tie dokonale stvorce?
A o ake mizerne vysledky ide?
Mozes ma poucit?

edison · 19. 11. 2017 22:40

vanok napsal(a):
Co su to tie dokonale stvorce?

Jedná se o čtverce rozdělené na menší čtverce, přičemž ale díly nesmí být stejně velké.

A o ake mizerne vysledky ide?

Mizerné výsledky jsou, že se to řešilo snad tisíce let, ale první byl objeven až r. 1938 (69 dílů), další 1948 (24 dílů) a pak 1978 (21 dílů, což má být nejmenší možný). O dalších nevím:-)

vanok · 19. 11. 2017 22:47

↑ edison:,
Dakujem. To som nevedel, ze sa to tak vola.
Miserne mozno, ale je tazko take najst.
V odkaze z #19 sa hovorilo iba o specialnom pripade stvorca z #1. Ale v tej knihe su aj ine hlavolamy.

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2017 17:35

Rozklad čtverce na několik čtverců

#2 17. 11. 2017 20:41

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#3 17. 11. 2017 21:10

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#4 17. 11. 2017 21:13 — Editoval vanok (17. 11. 2017 21:54)

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#5 17. 11. 2017 21:54

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#6 17. 11. 2017 22:08 — Editoval Darko (17. 11. 2017 22:39)

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#7 17. 11. 2017 22:34 — Editoval vanok (17. 11. 2017 22:36)

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#8 17. 11. 2017 22:41

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#9 17. 11. 2017 22:57

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#10 17. 11. 2017 23:23 — Editoval Darko (18. 11. 2017 02:22)

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#11 18. 11. 2017 00:13

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#12 18. 11. 2017 00:39 — Editoval edison (18. 11. 2017 01:06)

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#13 18. 11. 2017 01:53 — Editoval Darko (18. 11. 2017 02:21)

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#14 18. 11. 2017 02:01

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#15 18. 11. 2017 02:12 — Editoval edison (18. 11. 2017 02:15)

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#16 18. 11. 2017 02:20 — Editoval Darko (18. 11. 2017 02:25)

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#17 18. 11. 2017 02:25

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#18 18. 11. 2017 11:21

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#19 18. 11. 2017 14:29

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#20 18. 11. 2017 20:40 — Editoval Andrejka3 (18. 11. 2017 21:06)

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#21 19. 11. 2017 18:27 — Editoval vanok (19. 11. 2017 18:29)

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

#22 19. 11. 2017 22:40

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

vanok napsal(a):

#23 19. 11. 2017 22:47

Re: Rozklad čtverce na několik čtverců

Zápatí