Matematické Fórum

numeriprimi · 18. 11. 2017 18:48

Ahoj,
řeším tento příklad:

Mám soustavu tří malých koulí o stejné hmotnosti $\textit{m}$ , které jsou spojeny dráty. Hmotnost drátů je zanedbatelná, jsou spojeny do rovnostranného trojúhelníku o délce strany $\textit{l}$ jako na obrázku. Koule kloužou po vodorovné ploše bez tření. V určitém okamžiku se koule A pohybuje rychlostí $\vec{v}$ ve směru AB a okamžitá rychlost koule B je rovnoběžná s úsečkou BC.

Mám určit:
- okamžitou rychlost koulí B a C
- těžiště soustavy T
- úhlovou rychlost soustavy
- velikost sil, jimiž jsou namáhány dráty spojující koule

Je mi celkem jasné, jak určit těžiště soustavy, že se nachází v těžišti tohoto trojúhelníka vzhledem k tomu, že jsou hmotnosti koulí stejné. Je mi jasné, jak případně dopočítat souřadnice.
Potíž činí zbývající body. Opravdu nevím, jak z jen z daných podmínek určit třeba okamžitou rychlost koulí B a C a další údaje. Můžete mi prosím říct, jak na to?

Mockrát děkuji.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-11/27225_obr.png

zdenek1 · 19. 11. 2017 18:44

↑ numeriprimi:
Viděl bych to asi takto:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-11/11687_pic_x.png
za prvé: není to tam nikde zmíněno, ale budu předpokládat, že rychlost $\vec v$ je vzhledem k podlaze.
za druhé : zvolím si soustavu souřadnic podle obrázku.

Rychlost bodu v tuhém tělese můžeme vyjádřit jako $\vec v=\vec v_T+\vec v_r$ , kde $\vec v_T$ je rychlost těžiště a $\vec v_r$ je relativní rychlost bodu vzhledem k těžišti určená vztahem $\vec{v_r}=\vec \omega \times \vec{r}$ , kde $\vec r$ je polohový vektro daného bodu vzhledem k těžišti.

V daném okamžiku jsou souřadnice vektoru
$\vec{v}_A=(v\sin 30^\circ ;-v\cos 30^\circ ;0)$ (rychlost bodu A)
$\vec{\omega}=(0;0;\omega)$ (stejné pro všechny tři body A, B, C)
$\vec{r}=\overrightarrow{TA}=(0;\frac{\sqrt3}{3}l;0)$
Vyjádříme si rychlost těžiště: $\vec{v}_T=\vec{v_A}-\vec{\omega}\times \vec{r}=(\frac v2+\frac{\sqrt3}{3}\omega l;-\frac{\sqrt3}{2}v;0)$

Nyní to celé zopakujeme pro bod B.
$\vec v_B=(u;0;0)$
$\vec{r}=\overrightarrow{TB}=(\frac l2;-\frac{\sqrt3}{6}l;0)$
$\vec{v}_B=\vec{v}_T+\vec{\omega}\times \vec{r}=(\frac v2+\frac{\sqrt3}{3}\omega l+\frac{\sqrt3}{6}\omega l;-\frac{\sqrt3}{2}v+\frac{\omega l}{2};0)$
Podle zadání je y-ová souřadnice nulová, takže
$-\frac{\sqrt3}{2}v+\frac{\omega l}{2}=0$

Vypočítáš si $\omega$ , zpětně dosadíš všude, kde je to potřeba.

Pak to celé zopakuješ pro bod C.

numeriprimi · 20. 11. 2017 09:30

Děkuji mockrát. Pochopila jsem, propočítávám to teď.
Můžu se ještě zeptat, jak bys potom řešil výpočet těch sil, které namáhají dráty?
Díky moc.

zdenek1 · 20. 11. 2017 09:57

↑ numeriprimi:
Když se to pohybuje bez tření, tak jediná síla, která na koule působí, je dostředivá síla, tj. $F_d=m\omega^2r$ a ta je realizovná napětími v drátech.
Takže dvě napětí v drátech svírající úhel 60° musí dát dostředivou sílu.

numeriprimi · 20. 11. 2017 10:12

Tedy všechny dráty jsou namáhány stejnou silou vzhledem k tomu, že úhlová rychlost je pro všechny body stejná? Stačí tedy dosadit vyjádření úhlové rychlosti a r odpovídá délce strany trojúhelníku?

zdenek1 · 20. 11. 2017 11:08

↑ numeriprimi:

Tedy všechny dráty jsou namáhány stejnou silou vzhledem k tomu, že úhlová rychlost je pro všechny body stejná?

ano

Stačí tedy dosadit vyjádření úhlové rychlosti

ano

a r odpovídá délce strany trojúhelníku

ne

numeriprimi · 20. 11. 2017 12:25

Dobře, snažím se si to nějak lépe představit... Bude tedy r odpovídat výšce trojúhelníka?

zdenek1 · 20. 11. 2017 13:18

↑ numeriprimi:
otáčí se to kolem těžiště, takže to bude vzdálenost od těžiště (tj. 2/3 výšky)

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2017 18:48

pohyb soustavy tří koulí

#2 19. 11. 2017 18:44

Re: pohyb soustavy tří koulí

#3 20. 11. 2017 09:30

Re: pohyb soustavy tří koulí

#4 20. 11. 2017 09:57

Re: pohyb soustavy tří koulí

#5 20. 11. 2017 10:12

Re: pohyb soustavy tří koulí

#6 20. 11. 2017 11:08

Re: pohyb soustavy tří koulí

#7 20. 11. 2017 12:25

Re: pohyb soustavy tří koulí

#8 20. 11. 2017 13:18

Re: pohyb soustavy tří koulí

Zápatí