Matematické Fórum

PlusPlusPlus · 22. 11. 2017 17:34

Zdravím,

Jako matematik nižší znalostní úrovně, bych předně rád poděkoval všem přispívajícím, za jejich trpělivost a ochotu reagovat na předkládané dotazy. Sám za sebe mohu říct, že si všech odpovědí vážím a snažím se jim porozumět. Ne vždy se mě to však komplexně daří. Někdy pochopím pouze jednotlivosti z těchto odpovědí. Nicméně celkově to vnímám tak, že mě každá Vaše reakce po malých krocích vždy někam dopředu posune.
Takže upřímně děkuji.

Momentálně řeším, jak správně srozumitelně matematicky formulovat tento postup:
Mám dvouprvkovou množinu $M=\{+a,-b\}$
Z prvků této množiny vytvořím $n$ prvkovou variaci s opakováním. Jedná se tedy o uspořádané n-tice, jejich počet je $V'(n, 2) = 2^n$
Tím mám na mysli, že např. pro $n=3$ se bude jednat o tyto uspořádané trojice jakési množiny $N$ :
$N=\{(+a,+a,+a),(+a,+a,-b),(+a,-b,+a),(+a,-b,-b),(-b,+a,+a),(-b,+a,-b),(-b,-b,+a),(-b,-b,-b)\}$
Dále mám nějakou jednoprvkovou uspořádanou n-tici, pro konkrétní $n=3$ například množinu $O=\{(p,k,r)\}$
Prvek, uspořádanou trojici množiny $O$ potřebuji nějak matematicky spojit s každým prvkem množiny $N$ a vytvořit nové prvky složených uspořádaných trojic, náležících množině $H$ :
$(p,k,r)+(+a,+a,+a)=(p+a,k+a,r+a)$
$(p,k,r)+(+a,+a,-b)=(p+a,k+a,r-b)$
$(p,k,r)+(+a,-b,+a)=(p+a,k-b,r+a)$
$(p,k,r)+(+a,-b,-b)=(p+a,k-b,r-b)$
$(p,k,r)+(-b,+a,+a)=(p-b,k+a,r+a)$
$(p,k,r)+(-b,+a,-b)=(p-b,k+a,r-b)$
$(p,k,r)+(-b,-b,+a)=(p-b,k-b,r+a)$
$(p,k,r)+(-b,-b,-b)=(p-b,k-b,r-b)$

Tyto složené uspořádané trojice tvoří množinu $H=\{(p+a,k+a,r+a),(p+a,k+a,r-b)...\}$
Prvkům průniku množiny $H$ s jakousi množinou uspořádaných trojic množiny $G$ přiřadím nějakou vlastnost.

Žádám o radu, jak se dá tento postup správně matematicky napsat.
Děkuji

PlusPlusPlus · 22. 11. 2017 18:15

Ještě doplním, že prvky množiny $H$ jsem zamýšlel vytvořit jako kartézský součin množin $OXN$ . Tím bych získal uspořádané dvojice uspořádaných trojic. $[(p,k,r),(+a,+a,+a)]$ Následně bych definoval jak z těchto dvojic vytvořit prvky množiny $H$ . Něco podobného, jako se konstruují množiny celých, racionálních, komplexních čísel. Mno nevím jestli je úvaha tímto směrem správná.

PlusPlusPlus · 22. 11. 2017 18:45

Aha, nevšiml jsem si, že prvky množiny $N = MXMXM$ .

PlusPlusPlus · 22. 11. 2017 22:24

Zdravím,
zkusím to popsat znovu a jinak.
Položím dvouprvkovou množinu $(M \subset R) \wedge M=\{1,-2\}$
Zavedu množinu $M^k$ . Prvky tvoří uspořádané k tice kartézského součinu množin $M$ , což lze zapsat: $M^k=M_1 \times M_2 \times . . . \times M_k = \{ (m_1,m_2,m_3, . . . , m_k): m_i \in M_i , 1\le i \le k\}$
Zavedu jednoprvkovou množinu $O^k$ , prvek je uspořádaná k-tice kartézského součinu množiny všech reálných čísel $(O^k \subset R^k) \wedge O^k=\{(o_1,o_2,o_3, . . . , o_k)\}$

Tady se zatím zastavím. Můžete mě to prosím zkontrolovat, jestli je to prozatím srozumitelné?
Díky.

Andrejka3

Ahoj. Kartézský součin lze v texu psát jako \times
Nevím, kde se věci, které popisujete dělají, ale když na něco takového narazím, definuji si to sama pro sebe.
Pokud tedy definujete vlastní symboliku, snažíte se o jednoduchost a praktičnost.

Tady definujete sčítání uspořádaných trojic po složkách.
$(p,k,r)+(+a,+a,+a)=(p+a,k+a,r+a)$

Jsou-li $M$ , $N$ množiny trojic, pak si definujme operaci + takto:
$M+N=\{m+n;\:m\in M\:\wedge\:n\in N\}$ , a v případě, kdy $M=\{m\}$ nechť
$m+N=\{m\}+N$ ve smyslu již popsaném.

PlusPlusPlus · 23. 11. 2017 21:52

Ahoj ↑↑ Andrejka3:

Děkuji za reakci, je to přehledné a srozumitelné.
Ještě tak nad tím přemýšlím a nejsem si jistý tím, zda je vůbec nutné definovat operaci sčítání v množinách $\mathbb{Z}^n,\mathbb{Q}^n,\mathbb{R}^n$ . Rozeberu to elementárněji:
Celé číslo je zavedené jako uspořádaná dvojice přirozených čísel $\mathbb{Z}=\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ . Jestliže označím velkým písmenem celé číslo a malým písmenem přirozené číslo $A=[a,b], B=[c,d]$ , potom součet $A+B =[a+c,b+d]=P$ , podobně pro $C=[e,f] ,D=[g,h]$ je součet $C+D=[e+g,f+h]=K$
Potom $\mathbb{Z}^2=(\mathbb{N} \times \mathbb{N})\times(\mathbb{N} \times \mathbb{N})$ je uspořádaná dvojice $[[a,b],[c,d]]$ , a pro součet platí $[[a,b],[c,d]]+[[e,f],[g,h]]=[[a,b]+[e,f],[c,d]+[g,h]]=[[a+e,b+f],[c+g,d+h]]=[A,B]+[C,D]=[A+C,B+D]$ a tak podobně pro $\mathbb{Z}^n$ .

Tím by se to celé zjednodušilo:
Moje předpoklady: $M=\{1,2\}\wedge x\in M^n\wedge y\in \mathbb{R}^n \wedge n\in \mathbb{N} \wedge H^n$
Formulace: $(T=\phi j) \Leftrightarrow [\exists x + y= (r_1,r_2,r_3, . . . , r_n)\in H^n]$

Tak žádám ještě o jednu kontrolu, dík.

Andrejka3 · 24. 11. 2017 18:59

Vůbec se v tom nevyznám a nechápu, k čemu to je.
My jsme na VŠ zavedli přirozená čísla přes Peanovy axiomy a celá čísla vnořením komutativní pologrupy do grupy.

PlusPlusPlus · 26. 11. 2017 14:18

Ahoj ↑↑ Andrejka3:,
...vůbec to nechápu a nevím k čemu to je
Odpověď - momentálně se snažím zobecnit a popsat výpočet limity funkce více proměnných elementárním způsobem. Tedy elemetárně popsat, proč je např. výsledek této limity $\lim_{(x, y)\to(1,2)} \frac{cos[(xy-2x-y+3)!]-cos(1)}{sin(1) . arcsinh(xy-2x-y+2)}+1= \gamma = 0,57721 ... = Eulerova-Mascheroniova konstanta$
Vysvětlení vyžaduje práci s uspořádanými n-ticemi, v tomto jednoduchém příkladě s uspořádanými dvojicemi. Moje metodika není obecně formulovaná, proto vyžaduje nové definice.
Můj problém je ten, že vím co chci napsat, ale neumím to dobře formulovat. Zřejmě po dokončení oslovím někoho, kdo mě formulace zkontroluje a na případné nesrozumitelnosti mě upozorní.

Ano, přirozená čísla jsou zavedena pomocí Pean. axiomů. Pochopil jsem však, že celá čísla jsou definována uspořádanou dvojicí přirozených čísel, pomocí jejichž složek jsou definovány vztahy: rovná se, menší než, větší než a početní operace sčítání a násobení. Souhlasím s tím, že se jedná o vnoření komutativní pologrupy do grupy. Nejsem však přesvědčen o tom, že pokud se hovoří o vnoření komutativní pologrupy do grupy, musí se nutně hovořit o celých číslech.
Mě se spíše jednalo o to, zda je nutné při zobrazení $\mathbb{Z}^n \rightarrow \mathbb{Z}$ , nebo $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ opakovaně definovat operace sčítání v množinách $\mathbb{Z}^n$ , $\mathbb{R}^n$ , nebo říct, není nutné definovat, protože to přirozeně vyplývá již z předcházející definice sčítání v množinách $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{R}$ .

Za mé nesrozumitelnosti se tedy omlouvám, za tipy jak to lépe popsat děkuji.
P.

vanok · 26. 11. 2017 21:07

Ahoj ↑ PlusPlusPlus:,
Je jasne, ze podla toho co planujes robit v tvojich vyskumoch, je treba viac alebo menej rozvinut pouzite pojmy. Napr. pojem operacii na $\Bbb R ^n$ mozes kludne pouzit, z tym, ze pripomenues, ze ide o bezne definovane operacie. No vsak, ak by islo o inac definovane pojmy ako obycajne, pochopitelne musis podrobne definovat.

PlusPlusPlus · 04. 12. 2017 19:38

Ahoj ↑↑ vanok:

Děkuji za informaci.

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2017 17:34

Jak správně matematicky zapsat

#2 22. 11. 2017 18:15

Re: Jak správně matematicky zapsat

#3 22. 11. 2017 18:45

Re: Jak správně matematicky zapsat

#4 22. 11. 2017 22:24

Re: Jak správně matematicky zapsat

#5 23. 11. 2017 09:20 — Editoval Andrejka3 (23. 11. 2017 09:21)

Re: Jak správně matematicky zapsat

#6 23. 11. 2017 21:52

Re: Jak správně matematicky zapsat

#7 24. 11. 2017 18:59

Re: Jak správně matematicky zapsat

#8 26. 11. 2017 14:18

Re: Jak správně matematicky zapsat

#9 26. 11. 2017 21:07

Re: Jak správně matematicky zapsat

#10 04. 12. 2017 19:38

Re: Jak správně matematicky zapsat

Zápatí