Matematické Fórum

Gauß69

Caute,

potrebujem vypocitat $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{sin(x)}{x} \ dx$ tym ze pozorujem funkciu $F(t): (0,\infty ) \overrightarrow{}\mathbb{R}, F(t)=\int_{[0,\infty )}^{ }\frac{sin(x)\cdot e^{-tx}}{x} \ d\lambda (x)$ .

Je mi jasne ze $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{sin(x)}{x} dx=\int_{-\infty }^{\infty } \sum_{n=0}^{\infty } (-1)^{n}\cdot \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}dx=[\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}]_{-\infty }^{\infty }=\pi$ , len neviem prist na to, ako to vypocitat pomocou funkcie F. Jedine na co som prisiel, ze funkcia v tom Lebesgueho integraly je ohranicena pre vsetky x∈(0,∞) a pre vsetky t∈(0,∞), potom sa tento Lebesgueov integral rovna Riemanovmu, tak zacnem upravovat sin(x)/x napisem pomocou radu presne ako som pisal v tom integraly vyssie a e^(-tx) napisem pomocou exponencialneho radu, potom dostanem multiplikaciu dvoch absolutne konvergentnych radov, cize ich mozem napisat ako Cauchyho produkt a lahko ich z integrovat kde dostanem nie moc peknu rovnicu pre F(t), cize to nikam nevedie.

Druhe co ma napadlo, ze najprv vypocitam Lebesgueho integral, tu pozorujem funkciu g:=sin(x)*e^(-tx)/x, kde vidim ze pre t --> ∞ aproximuje funkcia g pozdlz x-ovej osi pre x∈[0,∞) (tym myslim g(x)-->0 pre vsetky x>=0), cize potom g mozem aproximovat pomocou jednoduchej funkcie v tvare $g\sim \sum_{n=1}^{N}a_{n}\cdot \chi _{A_{n}}$ , kde pre t --> ∞ ide an-->0 pre vsetky n∈{1,...,N}, cize potom $\lim_{t\to\infty }\int_{[0,\infty )}^{ }\frac{sin(x)\cdot e^{-tx}}{x} \ d\lambda (x)=\sum_{n=1}^{N}a_{n}\cdot \lambda ([0,\infty )\cap A_{n})=0 , \ lebo \ a_{n}\overrightarrow{}0 \ \forall n\in {1,...,N}$ len tu nevidim ziaden suvis medzi funkciu F a Riemanovym integralom zo zadania. Vedelem by mi niekto prosim Vas poradit?

Stýv · 15. 11. 2017 20:49

Nejsem si jistej, jestli chápu tvoje myšlenky, ale pokud jde o souvislost mezi F a integrálem, tak já ji vidím v tom, že $\frac{sin(x)}{x}=\lim_{t\to0}\frac{sin(x)e^{-tx}}{x}$ .

Gauß69 · 15. 11. 2017 21:19

↑ Stýv: vdaka, v tom mas samozrejme pravdu.

Ale uz som na to viacmenej prisiel, oboje postupy co som skusal boli na nic.
Treba vyuzit jednoduchu podobnust pre 1/x a to $\frac{1}{x}=\int_{0}^{\infty }e^{-xt}dt$ cize potom dostanem aj po Fubiniho vete $\int_{0}^{\infty }\frac{sin(x)}{x}dx=\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }sin(x)e^{-xt}dx dt$ s cim sa da uz lepsie pracovat a nakoniec dostanem vztah aj vdaka pouzitiu toho Lebesgueovho integralu $\int_{0}^{\infty }\frac{sin(x)}{x}dx=\int_{0}^{\infty }\frac{1}{1+x^{2}} dx$ , kde je hned zname ze arctan(x) je primitivna funkcia od funkcie 1/(1+x^2), cize $\int_{0}^{\infty }\frac{1}{1+x^{2}} dx=[arctan(x)]^{\infty }_{0}=\frac{\pi }{2}$

jarrro · 16. 11. 2017 08:30 — Editoval jarrro (16. 11. 2017 08:35)

↑ Gauß69:alebo ešte je možnosť uvažovať deriváciu funkcie
$F^{\prime}{$t$}=\int\limits_{0}^{\infty}{$-\sin{\(x$}\mathrm{e}^{-tx}\)\mathrm{d}x}$

Gauß69 · 17. 11. 2017 14:48

↑ jarrro: dakujem, mas uplnu pravdu, zacal by som asi dokazom toho co si ty napisal cize to uz cele rovno zhrniem $Nech \ (X,\Lambda , \mu ) \ priestor \ s \ mierou, \ I\subset \mathbb{R}, \ f:I\times X\overrightarrow{}\mathbb{R}, \ N\subset X \ s \ vlastnostou \ \mu (N)=0, \ F:X\overrightarrow{}\mathbb{R}, \ F(x)=f(t,x) \ t \in I, \\ F \ integrovatelna \ funkcia, \forall t\in I \ \forall x \in X-N \ \exists \frac{\partial }{\partial t }f(t,x), \ \forall t\in I \ \forall x \in X-N \ \exists g: g(x)\ge |\frac{\partial }{\partial t }f(t,x)| , \ F(t)=\int_{X}^{}f(t,x)d\mu (x) \Rightarrow \\ \frac{\partial }{\partial t } F(t)=\lim_{n\to\infty }\frac{\int_{X}^{}f(t+\frac{1}{n},x)d\mu (x)-\int_{X}^{}f(t,x)d\mu (x)}{t+\frac{1}{n}-t}=\lim_{n\to \infty }\int_{X}^{}\frac{f(t+\frac{1}{n},x)-f(t,x)}{\frac{1}{n}} d\mu (x), \ tu \ mozeme \ pouzit \ vetu \ o \ dominujucej \\ konvergencii, \ =\int_{X}^{}\lim_{n\to \infty }\frac{f(t+\frac{1}{n},x)-f(t,x)}{\frac{1}{n}} d\mu (x)=\int_{N}^{}\lim_{n\to \infty }\frac{f(t+\frac{1}{n},x)-f(t,x)}{\frac{1}{n}} d\mu (x) + \int_{X-N}^{}\frac{\partial }{\partial t }f(t,x)d\mu (x), \\ tu \ vieme \ ze \ pre \ \mu (N)=0 \ plati \ \int_{N}^{}fd\mu =0 \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}F(t)=\int_{X-N}^{}\frac{\partial }{\partial t }f(t,x)d\mu (x)$

tym by sme viac menej dokazali vetu, z ktorej vyplyva tvoje tvrdenie jarrro, teraz uz len pomocou toho vyriesit nejako ulohu, cize co ma teraz napada, ze pozorujeme pre funkciu F zo zadania $|\frac{\partial }{\partial t }f(t,x)|=|e^{-tx}sin(x)|<g(x):=1 \ \forall x\in [0,\infty ), \ \forall t\in (0,\infty ) \ vsetky \ predpoklady \ z \ hora \ splnene \ \Rightarrow \ \frac{\partial }{\partial t}F(t)=-\int_{[0,\infty )}^{}sin(x)e^{-tx}d\lambda (x) \\ =-\int_{0}^{\infty}sin(x)e^{-tx}dx$
co je naozaj pekny integral len sa mi nechcu pisat vsetky kroky, cize pomocou parcialnej integracie a naslednych ekvivalentnych upravach oboch stran dostaneme $\frac{\partial }{\partial t}F(t)=[\frac{1}{1+t^{2}}\cdot e^{-tx}(cos(x)+t\cdot sin(x) ]^{\infty }_{0}=-\frac{1}{1+t^{2}}$
cize uz sa konecne dostavame pomaly do finale
$\int_{0}^{\infty } \frac{sin(x)}{x}dx=\int_{0}^{\infty }sin(x)\int_{0}^{\infty }e^{-xt} dtdx=\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }sin(x)e^{-xt} dtdx, \ veta \ od \ Fubiniho, \ =\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }sin(x)e^{-xt} dxdt=\int_{0}^{\infty }-\frac{\partial }{\partial t}F(t)dt= \\ \int_{0}^{\infty }\frac{1}{1+t^{2}}dt=[arctan(t)]_{0}^{\infty }=\frac{\pi }{2}$
vieme ze sin je parna funkcia z toho vieme usudit ze aj sin(x)/x je parna funkcia a mozme vyuzit vlastnost integralu z parnych funkcii tak ze $\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }\frac{sin(x)}{x}dx=2\cdot \int_{0}^{\infty }\frac{sin(x)}{x}dx=2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi$

Rumburak

↑ Gauß69:
Ahoj.

nechci se plést do již provedených výpočtů, pouze připojím teoretickou poznámku.

"Cílový" integrál

(1) $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x} \d x$

nemůže být integrálem Riemannovým, protože interval, přes který se integrace provádí,
není omezený.

Pokud integrovanou funkci spojitě dodefinujeme v nule, pak lze ukázat, že (1) může být
integrálem Newtonovým. Tento integrál (1) však je, pokud mne neklame paměť, konvergentní
pouze neabsolutně, proto nemůže jít ani o integrál Lebesgueův.

Gauß69 · 18. 11. 2017 16:19

↑ Rumburak: si si isty, ze interval musi byt obmedzeny? Pretoze existuju nevlastne Riemannove integraly, cize interval je neohraniceny. V definicii som nasiel len, ze funkcia musi byt na intervale ohranicena.

vanok · 18. 11. 2017 21:20

Ahoj ↑ Gauß69:,
Zaujimave citanie
http://math.tut.fi/courses/73129/Bartle.pdf

Rumburak

↑ Gauß69:
Dejme tomu. Pod samotným pojmem "Riemannův integrál" je však obvykle míněn R. integrál
v jeho "základní" podobě, tj. z omezené funkce přes omezený interval. Ale připouštím,
že terminologie může kolísat. Já jsem byl odchován v terminologii zavedené prof. Jarníkem,
ale je pravděpodobné, že Tví učitelé vycházejí z jiných zdrojů. Pro studenta je důležité řídit se
terminologií zavedenou na přednášce či v doporučené literatuře.

vanok · 27. 11. 2017 13:28

Ahoj ↑ Gauß69:,
Aj toto https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral sa oplati precitat.

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2017 19:28 — Editoval Gauß69 (15. 11. 2017 19:39)

Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

#2 15. 11. 2017 20:49

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

#3 15. 11. 2017 21:19

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

#4 16. 11. 2017 08:30 — Editoval jarrro (16. 11. 2017 08:35)

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

#5 17. 11. 2017 14:48

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

#6 18. 11. 2017 14:49 — Editoval Rumburak (18. 11. 2017 14:53)

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

#7 18. 11. 2017 16:19

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

#8 18. 11. 2017 21:20

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

#9 20. 11. 2017 10:10 — Editoval Rumburak (20. 11. 2017 10:43)

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

#10 27. 11. 2017 13:28

Re: Vypocitanie Riemanovho integralu pomocou Lebesgueovho integralo

Zápatí