Matematické Fórum

292klokan · 27. 11. 2017 18:21

Ahoj, potřeboval bych prosím poradit s výpočtem dvou příkladů na trojný integrál počítaný transformací do cilindrických souřadnic:

$x^{2}y \text{ dx dy dz}$

přes oblast omega: $\Omega : 1\le x^{2}+y^{2}\le 4, \text{ } 0\le z\le 3-y$

a druhý příklad:

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\text{ dx dy dz}$

přes oblast omega:
$\Omega : \frac{b^{2}}{a^{2}}\le \frac{x^2+{y^{2}}}{a^{2}}\le z\le 1\text{ , } a\gg b\gg 0$

(v zadání je pouze větší ne mnohem větší ale nenašel jsem pro to znak, stejně jako pro trojný integrál.)
Děkuji za pomoc.

kerajs · 27. 11. 2017 18:49 — Editoval kerajs (27. 11. 2017 19:18)

$1^2\le x^2+y^2\le 2^2$
$\int_{0}^{2\pi}(\int_{1}^{2}(\int_{0}^{3-y }x^2ydz)rdr)d\alpha =\int_{0}^{2\pi}(\int_{1}^{2}(\int_{0}^{3-r\sin \alpha }r^2\cos ^2\alpha r\sin \alpha dz)rdr)d\alpha =....$

$b^2\le x^2+y^2\le a^2$
$\int_{0}^{2\pi}(\int_{b}^{a}(\int_{\frac{x^2+y^2}{a^2}}^{1 }\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dz)rdr)d\alpha =\int_{0}^{2\pi}(\int_{b}^{a}(\int_{\frac{r^2}{a^2}}^{1 }\frac{1}{\sqrt{r^2}} dz)rdr)d\alpha =....$

292klokan

↑ kerajs:
Jojo, tenhle řádek zvládám, spíš mi dělá problém to integrovat dál celý, zejména podle $\alpha$

A u toho druhého příkladu jak jsi prosím přišel na tu mez u r a z?

kerajs · 27. 11. 2017 19:09

Kolik to je:

$\int r^2\cos ^2\alpha r\sin \alpha dz=......$

$\int_{0}^{3-r\sin \alpha }r^2\cos ^2\alpha r\sin \alpha dz=......$

292klokan · 27. 11. 2017 19:21

↑ kerajs:
tak $r^{3} cos^{2}\alpha sin\alpha$
a po zintegrování mi tam vyjde
$3r^{3}cos^{2}\alpha sin\alpha -r^{4}cos^{2}\alpha sin^{2} \alpha$
A teď to zintegruji podle r:
$\frac{3}{4}r^{4}cos^{2}\alpha sin\alpha-\frac{r^{5}}{5}cos^{2}\alpha sin^{2} \alpha$
po dosazení r mi tam něco vyjde ale pořád musím zintegrovat ten cos a sin ... ???

kerajs · 27. 11. 2017 19:49 — Editoval kerajs (27. 11. 2017 19:57)

$\cos ^2\alpha \sin \alpha =\frac{1}{2}\sin 2\alpha \cos \alpha =\frac{1}{4}(\sin 3\alpha +\sin \alpha)$

$\cos ^2\alpha \sin^2 \alpha =\frac{1}{4}\sin^2 2\alpha$

292klokan napsal(a):
tak $r^{3} cos^{2}\alpha sin\alpha$
a po zintegrování mi tam vyjde
$3r^{3}cos^{2}\alpha sin\alpha -r^{4}cos^{2}\alpha sin^{2} \alpha$

OK

292klokan napsal(a):
A teď to zintegruji podle r:
$\frac{3}{4}r^{4}cos^{2}\alpha sin\alpha-\frac{r^{5}}{5}cos^{2}\alpha sin^{2} \alpha$

Ne. A jakobian?

292klokan · 27. 11. 2017 20:04

↑ kerajs:
Joo, tak ten jsem tam zapomněl ...
ale s úpravou těch sinů a cosinů už to zvládnu dodělat, moc děkuju.

Jenom ještě u toho druhýho příikladu nějak nerozumím tomu jak se přijde na ty meze.

kerajs · 27. 11. 2017 20:40

292klokan napsal(a):
$\Omega : \frac{b^{2}}{a^{2}}\le \frac{x^2+{y^{2}}}{a^{2}}\le z\le 1\text{ , } a> b> 0$

$\frac{b^{2}}{a^{2}}\le \frac{x^2+{y^{2}}}{a^{2}}\le 1\\ b^2\le x^2+y^2\le a^2\\ b^2\le r^2\le a^2\\ b\le r\le a$

$\frac{x^2+{y^{2}}}{a^{2}}\le z\le 1\\ \frac{r^2}{a^{2}}\le z\le 1$

292klokan · 27. 11. 2017 20:48

↑ kerajs:
Děkuji, dál už to zvládnu. Jenom jsem nevěděl zda můžu v té nerovnosti přeskočit to z.
Ještě jenou dík :)

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2017 18:21

Trojný integrál

#2 27. 11. 2017 18:49 — Editoval kerajs (27. 11. 2017 19:18)

Re: Trojný integrál

#3 27. 11. 2017 18:52 — Editoval 292klokan (27. 11. 2017 19:06)

Re: Trojný integrál

#4 27. 11. 2017 19:09

Re: Trojný integrál

#5 27. 11. 2017 19:21

Re: Trojný integrál

#6 27. 11. 2017 19:49 — Editoval kerajs (27. 11. 2017 19:57)

Re: Trojný integrál

292klokan napsal(a):

292klokan napsal(a):

#7 27. 11. 2017 20:04

Re: Trojný integrál

#8 27. 11. 2017 20:40

Re: Trojný integrál

292klokan napsal(a):

#9 27. 11. 2017 20:48

Re: Trojný integrál

Zápatí