Matematické Fórum

Dobrý den,

mám problém s příkladem, jehož zadání zní takto:

Petr a Michael vymysleli zajímavou hru. Každý z nich dostane jedenáct kamenů očíslovaných postupně čísly 1 až 11. Nyní mají oba za úkol vymyslet nějaký rafinovaný systém přeskládání kamenů (kterého se musí držet celou hru) tak, aby vytvořili více vzájemně různých řad než jejich oponent. Petrův systém je velmi chytrý, vezme kámen a posune ho v řadě o dvě pozice doprava. To znamená, že pokud měl Petr v první řadě kameny sestaveny postupně 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, tak druhá řada bude vypadat následovně: 10, 11, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 pak třetí řada: 8, 9, 10, 11, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a tak dále.

2)    Jaký systém musí Michael vymyslet, aby nejen vyhrál nad Petrem, ale aby zároveň získal maximální možný počet vzájemně různých řad?

Tento příklad bych měla řešit tak, že hledám nejvyšší řád permutace, pokud tomu správně rozumím. Musím tedy rozdělit permutaci do cyklů tak, aby jejich velikosti daly co největší společný násobek. Nebo se pletu?

Napadlo mě řešení, kdy udělám cykly o velikosti 5 a 6:


NSN bude tedy 30.

Můj vyučující mi však řekl, že je třeba zdůvodnit, proč je řád 30 největší možný.
"Zkuste uvést nějaký důkaz (nejlépe napište všechny jednotlivé možnosti délek cyklů dané
permutace). Pokud je řešení permutace se dvěma cykly délky 5 a 6 správné, jedná se o jediné řešení?"

Nejsem si jistá, jak tomu mám rozumět. Mám tedy vypsat všechny další možnosti? Např. velikosti  cyklů 1 a 10, 2 a 9 a tak podobně a u všech určit řád? Ale jak to bude v případě určování řádu permutace, když budu mít 3, 4 a více cyklů, to přece nemohu všechno rozepisovat...?

Asi tomu moc dobře nerozumím, mohl by mi někdo poradit? Asi existuje nějaké elegantnější zdůvodnění.

Mnohokrát děkuji