Matematické Fórum

Dobrý deň,

S definíciou mnohočlenu, ako je uvedený v učebnici Odvarko str 65 - 67 by som nemal problém. Ide vlastne o definíciu polynómu n-premenných nad poľom "čísel". Tá definícia je síce kostrbatá a vágna, no aspoň definuje pojem mnohočlenu (pri troche fantazie) jednoznačne.

Úplne iný prípad je ale pojem n-člena. Ten autor nedefinuje, napriek tomu, že dáva ako cvičenie v úlohách 8. a 9. rozdeliť mnohočleny na dvojčleny, trojčleny, stvorcleny etc... Tj. autor dáva cvičenie odvolávajúce sa na pojem, ktorý nezaviedol, jednoznačne nevymedzil, neozrejmil a neide o základný pojem ani o intuitívne pochopiteľné slovo prirodzeného jazyka. (dokonca neide ani o pojem, ktorý by sa mimo takýchto učebníc pre 9. rocnik v matematike bezne pouzival) Pripomina mi to skor hru "hadaj na co myslim" resp. lepsie povedané "hadaj kde je v učebnici logická chyba".  Úlohy 8. a 9. odvolávajúce sa na nezavedený pojem n-clena sú logicky chybné úlohy a teda niečo v priamom rozpore s princípmi matematiky, ktorým by mala spomínaná učebnica učiť. Tieto stránky učebnice teda skor ako na vyučovanie matematiky možno použiť na ilustráciu toho, čo matematika nie je a ako by sa matematika nemala robiť.

Autor sice uvadza akesi priklady dvojclenov, trojclenov etc. no taketo vymenovanie jednoznacne neozrejmuje, co by mali byt spravne odpovede v ulohach 8. a 9. .  Je to jednoducho zlé zadanie úlohy a neoprávnené používanie nezavedeného pojmu n-člen. Preto správna odpoveď na ulohy 8. a 9. je jednoducho: toto je zlé zadanie úlohy, na otázku nie je možné odpovedat.

Ak by sa niekto domieval, ze môže žiak pojem n-člen pochopit a v mysli si intuitívne vymedzit sám, nie je to pravda. Napádajú mi minimalne 3 definicie n-clenu, ktore sú všetky intuitivne, plauzibilne, v sulade s autorovymi prikladmi, môžu žiakovi napadnúť a navzajom sa vylučujú. Pekne na to poukazali uz diskutujuci v tomto vlakne.

1) Ak vnimame n-clen ako cisto syntakticky pojem, je 2+3 dvojclen a 5 jednoclen, x+x dvojclen a 2x jednoclen, napriek tomu, ze semanticky su to ekvivalentne vyrazy.

2) Odvarko ale pouzil formulaciu "mnohoclen je vyraz, ktory sa da zapisat ako..". Prirodzene tu teda predpoklada akysi system ekvivalencii tj. ze rovnaky vyraz a teda aj rovnaky mnohoclen sa daju zapisat roznymi sposobmi. To ktore mnohocleny su rovnake a ktore nie, sa da ale mimochodom tiež definovat rozne (napr. podla funkcie, ktoru mnohocleny definuju; podla ekvivalentnych alegebraickych uprav mnohoclena ...). Ak by sme za dvojclen povazovali vyraz, ktory sa "da zapisat" pocou dvoch clenov (napr. v ekvivalencii podla funkcie) je 3 dvojclen, lebo sa da zapisat ako 2 + 1,  zaroven je ale 3 aj milionclen, pretoze sa da zapisat ako 3/1000000+ 3/1000000 +...+3/1000000 - ide o sucet milion racionalnych cisel - v definícii Odvarka mnohoclen.

3) Do tretice, aby sme predisli mnohoznačnosti v interpretacii 2) ,mozeme uvazovat o akomsi kanonickom zapise (v diskusii bol napr. navrhovany "najkratsi zapis"), ktory by ako reprezentant triedy ekvivalencie (napr. ekvivalencie podla funkcie) určoval koľko-člen je daný mnohoclen. Tak by sme každý poynom najskôr prepisali do ekvivalentnej kanonickej formy, v ktorej neexistuju dva scitance s rovnakou kombinaciou mocnin premennych a nasledne syntakticky urcili kolko-clen to je, co by urcovalo pojem n-clen pre celu tuto triedu ekvivalencie. x + x by bol teda jednoclen, rovnako ako 2x, x+x+x by bol stale jednoclen a x+x+y+2 by bol trojclen. Tato interpretacia je plauzibilna, lebo autor vyslovene tvrdi, ze rovnaky mnohoclen sa da zapisat roznymi sposobni, teda aj rovnaky jednoclen, dvojclen, trojclen, stvorclen etc. sa da zapisat roznymi sposobmi, napriek tomu ze ide stale o ten isty jednoclen, dvojclen, trojclen etc. - len inak zapisany . To, ze je pre ludi intuitivne tretim sposobom pojem n-clen chápať dokazuje už aj predošlá diskusia, kde sa viaceri diskuteri vyjadrili, ze x+x+x+x považujú za jednoclen.

Ak by sa človek zamyslel vymyslel by určite aj viac možných plauzibilnych interpretácii pojmu n-clen. Jednoducho žiadať od žiaka v takomto viacznačnom kontexte, aby napísal popr. označil "päťčlen" je v rozpore s princípmi správneho uvažovania. Ľudovo povedané - hlúpe.

A to ze to je zavedene hlupo deti intuitivne citia, pletie ich to a samozrejme znechucuje ich to. Asi máloktoré dieťa sa dovtípi, keď takúto úlohu v učebnici nevie vyriesit, že to je pre logicke chyby v ucebnici. Nečudujem sa ak si dieta na základe takejto skúsenosti spraví obraz o matematike, že je hlúpa... Lebo cvicenia 8. a 9. skutocne hlúpe sú - sú v rozpore s princípmi správneho uvažovania. Ak by také niečo dieta dostalo na pisomke ako otazku, je to vyslovene sikana.

Skutocnost, ze ide o ucebnicu pre deti celu situaciu este zhorsuje tj. o to je to cele horsie - vobec to nie je polahcujuca okolnost ako tu niektori "diskuteri" argumentovali. Ved o co menej pokrocily citatel, o to jasnejsie ma autor vykladat ucivo a o to viac je hriech znechutiť žiaka zadavanim neriesitelnych resp. chybných  úloh a zavádzaním pojmov, ktoré sú samoúčelné. Nie je žiaden dôvod na to, aby boli pojmy na spomínaných stranách Odvarkovej učebnice vágne ako soviecka ustava, iny ako ten, ze samotny autor knihy ma v matematike a logickom uvazovani gulas. Netvrdim, ze je potrebny formalizmus, pojmy sa daju definovat aj pouzivanim, intuitivnou predstavou, obrazom etc. tvrdim ale, ze ucebnica matematiky nemoze s pojmami nakladat v rozpore s principmi logiky a matematiky, ved hlavnym dovodom preco sa matematika vobec uci na skolach, je to aby sa deti naucili logicky uvazovat. Ak autor nevie pojem n-clen z nejakeho mysteriozneho dovodu zaviest jednoznacne a poriadne, moze ho jednoducho nezaviest. Aj tak sa tento pojem v matematike nepouziva. Ked uz mne ako vystudovanemu vedeckemu matikovi zaberie 4 hodiny, dumania co autor chcel povedat a nakoniec pridem na to, ze autor jednoducho nevedel co che povedat (doteraz netusim, co by autor povazoval za päťčlen) - ako mozeme ocakavat od deti, ze budu mat radost zo studia takehoto nekvalitneho textu. Ved to boli pre mna uplne jalovo zabite 4 hodiny casu, teraz si predstavte, kolko jaloveho casu s takym niecim moze zabit dieta, ktore nepride na to, ze autor ma text zle napisany a snazi sa zistit co to ten n-clen vlastne je aby mohlo spravne napisat pisomku. Ved to je cista depresia, strata potencialu a casu. Namiesto toho mohlo to dieta riesit nejaku zaujímavú matematicku ulohu alebo snazit sa hlbsie matematiku pochopit pred pisomkou.

Je treba si uvedomit, ze jazyk matematiky je umely jazyk a preto by sa mala dobra ucebnica matematiky vyhybat pojmom, ktore nie su pojmy prvotne, pojmy prirodzeneho jazyka alebo riadne zavedene a vymedzene (napr. aj intuitivne ako som spominal vyssie) odvodene pojmy. Odvodene matematicke pojmy su (vyznamovo) výlučne to, čo sa definuje že sú. Pytat sa v umelom jazyku na vyznam pojmu ktory nebol jednoznacne aspon intuitivne definovany tj. vymedzeny, je ako pytat sa na vyznam slova "fjjsjaallfgmncnxndksk" alebo ako pytat sa na to, kolko je x (bez blizsieho specifikovania) a to je logicky nespravne, bez ohľadu na to, ako to autor pôvodne zamýšľal. Mozno je na case prelozit nejaku kvalitnu zahranicnu ZS ucebnicu.

Ja som sa k tomuto vláknu dostal tak, že doučujem jednu žiačku 9. ročníka na Slovensku a v ich učebnici (Zuzana a Peter Bero pre 8. alebo 9. ročník) je to spravené pestne (asi aj doslovne) rovnako ako v Odvarko. K tomuto fóru som sa dostal tak, že som sa snažil cez google (ako skonceny vedecky matik), niekolko hodín, únavne dopatrat, čo to vlastne je ten päťčlen. Bohužiaľ som sa to nedopátral a moji kamaráti jadroví fyzici, teoretickí fyzici a matematici sú asi priliš málo vzdelaní v matematike resp. telepatickom čítaní myšlienok autora na to, aby zvládli cvičenie pre 9. ročník lebo tiez nevedia... 

V Z a P Bero som sa rovnako ako v Odvarko nedopatral za hodinu a pol trvajuce doucko čo to ten ň-člen vlastne podla autora je, napriek tomu, že je to ako cvičenie vo viacerých úlohách. Je to aktuálne používaná učebnica pre ZS na Slovensku.

Rovnako ako Odvarko je v nej definovany polynom n premennych (doslovne rovnako). A rovnako obsahuje cvicenia na ten transcendentny, nepochopitelny a nikde inde v matematike nevyskytujuci sa fenomen "n-clen", bez toho aby vysvetlili co to podla autora vlastne je a preco je taky pojem potrebny. (ked cela vedecka matematika a fyzika sa zaobišla aj bez takého pojmu)

↑ misaH:Ahoj len otázku (naozaj to nemá byť kritizovanie). Prečo sa dnes na základných školách boja definícií a dôkazov? (Myslím učitelia)

Pozdravujem ↑ janci.revay: ,
Ja tiez neviem ako sa uci na ZS. 
No vsak zda sa mi divne, ze neexistuje doplnokova kniha k ucebnici pre ucitelov kde autor doda vsetko co by mohlo byt uzitocne pre tu jeho ucebnicu. 
A to existuje jedinna ucebnica v na Sk.   ?
A potom osnovy sa dost casto menia.   A nikto nevie co je v nich na tuto temu?
↑ misaH:, tiez pozdravujem.  To na nic nesluzi byt agresivna z kolegom ↑ janci.revay:.   Vsak on je skutocne prekvapeny z nezrozumitelnimi stranami nejakej knihy. Okoze sa zda, ze ide o ludi vo pisu taketo strany a vies mat na nich kontakt. Tak preco im nepolozis tuto problematiku. Iste by nas mohli poucit o ake pedagogicke motivacie ide v ich stranach na diskutovanu temu.
Co vlastne nechapu ludia, co nie su ucitelia na ZS.?
Tvoj otec velmi mudro odpovedal, ze nebude pisat nieco co nie je jeho obor. Ale co to ma spolocne z problematikou nasho kolegu?

Pekny vecer vsetkym ucastnikom diskuzie.

Ahoj ↑ misaH:,
Ale ked ide o nezrozumitelne veci, ktore nutia ucit deti ich ucitelia (mozno ste nuteni to robit), a ak o tom teraz vies, tak ak by si dokazala aspon o tom hovorit, to by si pomohla tisicom deti, ktore su vdaka tomu stratene pre matematiku. 
My neucime na ZS a tak nase poznamky takym autorom  nemaju vela vlivu lebo povedia
to iste ako si si dovolila povedat v prvej casti ↑ misaH:
Ale to ty musis vediet co sa v takych  pripadoch by malo robit.

Pozdravujem ↑ misaH:,
Tak mozes byt taka zlata, ze mu vysvetlis tvoj pohlad na tuto temu. 
To mu moze byt uzitocne. 
Co hovoria o tom aktualne osnovy?
Krasny den.

Napríklad:

http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/ … oclenu.php

Logicky: keď exisuje jednočlen aj mnohočlen, pokojne môže existovať aj dvojčlen, trojčlen, tisícčlen.

Pozri si definíciu mnohočlena (polynómu).

A dvojčlena, trojčlena.

Tvoje problémy by som  chcela mať...

Dobry den, zaujimava stara tema.

Mnohoclen je jasny.  Jednoclen je jasny, dvojclen je jasny, trojclen je jasny, stvorclen je jasny, ....   nclen by mal byt intuitivne jasny.  Nclen je mnohoclen s n jednoclemi.  T.j. tento mnohoclen sa nazyva nclen.

2a + 3b + 45x + ab + df - 2a + abcdef +  ....    +  asd  - je v podstate nclenny mnohoclen - nclen.

V com je problem?