Matematické Fórum

PlusPlusPlus · 04. 12. 2017 20:51

Ahoj,

Rozvoj funkce více proměnných v okolí nějakého bodu se vyjadřuje pomocí totálních diferenciálů.
Zabýval se někdo jinou možností vyjádření?

Například funkci $f(x,y) = sin(x^3+2xy)$ lze vyjádřit v okolí bodu $(2,1)$ jakýmsi Taylorovým polynomem druhého řádu takto:
$T(x,y,f,a)_2 = sin(4y+8)+[14cos(4y+8)+2(y-1)cos(4y+8)](x-2)+$
$+[6cos(4y+8)-98sin(4y+8)-28(y-1)sin(4y+8)-2(y-1)^2sin(4y+8)](x-2)^2+...$

Tento jakýsi Taylorův polynom, lze aplikovat na všechny funkce a jejich definiční body.

vanok · 04. 12. 2017 21:51

Ahoj ↑ PlusPlusPlus:,
Aky vzorec si pouzil?

PlusPlusPlus

Ahoj ↑↑ vanok:

Trochu jsem nad tím přemýšlel a vlastně je to pořád Totální diferenciál. Trochu jsem jej upravil, a nechal jsem jeden bod uvnitř argumentu.
V podstatě postupuji takto:
1 Uvažuji libovolnou funkci $f(x,y)$
2. Zavedu funkci jedné proměnné $g(x) = f(x,y)$ . Je jedno kterou proměnnou u funkce $g$ zvolím, platí Fubiniova věta.
3. Rozvinu funkci $g(x)$ v bodě $a$ do $n$ - tého řádu $T(x,g,a)_n$
4. Zavedu funkci jedné proměnné $h(y) = T(x,g,a)_n$ . Funkci přiřadím předchozí rozvinutou řadu $n$ tého stupně.
5. Rozvinu funkci $h(y)$ v bodě $b$ do $n$ - tého řádu $T(y,h,b)_n$
6. Tato rozvinutá řada, je Taylorova řada funkce $f(x,y)$ řádu $n$ v bodě $(a,b)$
7. Tento postup lze aplikovat na funkce libovolného počtu proměnných.

Konkrétní příklad:
1. Uvažuji funkci $f(x,y)= x^y$
2. Zavedu funkci jedné proměnné $g(x) = x^y$
3. Rozvinu funkci $g(x)$ v bodě $a$ do $1$ - ního řádu $T(x,g,a)_1= a^y+ a^{y-1}y(x-a)$
4. Zavedu funkci jedné proměnné $h(y) = a^y+ a^{y-1}y(x-a)$
5. Rozvinu funkci $h(y)$ v bodě $b$ do $1$ - ního řádu
$T(y,h,b)_1=a^b[1+ln(a)(y-b)]+ba^{b-1}(x-a)+a^{b-1}[1+bln(a)](x-a)(y-b)$
6. Tato rozvinutá řada $T(y,h,b)_1$ , je Taylorova řada funkce $f(x,y)= x^y$ řádu $1$ v bodě $(a,b)$

PlusPlusPlus · 07. 12. 2017 20:09

Zdravím všechny přítomné.
Znovu jsem se rozvojům lépe věnoval a porovnával obě metody - obecně známou metodu pomocí totálních diferenciálů a metodu, kterou jsem výše popisoval. Došel jsem k závěru, že metody nemusí být identické.

Příklad: Rozvinu funkci $f(x,y) = e^{-(y^2+x^2)}$ v bodě $a=(1,2)$ do druhého stupně

1. Rozvoj pomocí obecně známé metody totálních diferenciálů je: $T(x,y,f,a)_2 = \frac{x(x+8y-20)+y(7y-40)+56}{e^5}$

2. Pomocí postupu, který jsem popsal výše dostávám: $T(x,y,f,a)_2 =\frac{(7x^2-28x+28)y^2+(-32x^2+128x-128)y+37x^2-148x+148}{e^5}$

Dostávám rozdílné výsledky, takže se důvodně domnívám, že metody nejsou identické.

Žádám Vás o zamyšlení a diskusi k tématu. Zajímal by mě Váš názor na moje předkládané řešení rozvoje funkcí více proměnných.
Děkuji

vanok · 07. 12. 2017 22:59

Pozdravujem.
Pozri aj sem http://mathumatiks.org/subpage-388-Tayl … iables.htm

PlusPlusPlus · 08. 12. 2017 21:04

Ahoj,
Děkuji za odkaz. Mrknu na to.

PlusPlusPlus

Ahoj ↑↑ vanok:

Tak jsem se na odkaz díval. Nevím jestli to umím správně přečíst, nebo jestli je tam tolik nesrozumitelností.

První řádek je srozumitelný:
$f(x+h,y+k) =f(x,y+k) +h\frac{\partial f(x,y+k)}{\partial x}+\frac{h^2}{2!}\frac{\partial^2 f(x,y+k)}{\partial x^2}+ ...$ označím $(1)$
Druhý řádek jsem nepochopil. Podle mě se jedná o parciální derivace podle proměnné $y$ . Proč dělají parciální derivace podle $x$ ? Podle mě to mělo být takto:
$f(x,y+k) =f(x,y) +k\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}+\frac{k^2}{2!}\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}+ ...$ označím $(2)$

Nyní substituuji $(2)$ do $(1)$ . Zde jsem nepochopil, proč se v substituci prvního členu vyskytuje $h$ . Podle mě tam nemá co dělat. Parciální derivace by zde měly být podle obou proměnných. Podle mě to mělo být takto:
$f(x+h,y+k) =f(x,y) +k\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}+\frac{k^2}{2!}\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}+ h\frac{\partial}{\partial x}[f(x,y) +k\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}+\frac{k^2}{2!}\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}]+$
$+\frac{h^2}{2!}\frac{\partial^2}{\partial x^2}[f(x,y) +k\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}+\frac{k^2}{2!}\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}]+...$
Jiné uspořádání členů - druhý sčítanec má dvakrát proměnnou $k$ . Podle mého názoru tu mají být obě proměnné $h$ a $k$ . Ve třetím sčítanci se záhadným způsobem objevují parciální derivace podle proměnné $y$ . To je důsledek chyby ve druhém řádku.Podle mě to mělo být takto:
$f(x+h,y+k) =f(x,y)+(h\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+k\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}) +\frac{1}{2!}(h^2\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}+2hk\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y})+k^2\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2})+...$

Symbolický zápis je skoro dobře. U třetího sčítance se však vytratila samotná funkce a opět je chybně uvedená parciální derivace u koeficientu $k$ . Má být podle proměnné $y$ , ne $x$ . Podle mě to mělo být takto:
$f(x+h,y+k) =f(x,y)+(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f +\frac{1}{2!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f +...$

Tak nevím jestli je chyba ve mně, nebo u autora stránek.
Můžeš se k tomu vyjádřit?
Děkuji

vanok · 09. 12. 2017 19:41

Ahoj,
To som ti len chcel ukazat, ze na webe najdes vsetko aj dobre a su zle.
A tu autor prispevku rozhodne nerobi co pise, ako si to dobre analyzoval.
Preto je zaujimave citat dokazy viet a ich analyzovat. Za akych podmienok su platne alebo nie.
Iste vysetrenie dokazov vety ktora ta zaujima by bolo uzitocne vidiet aj z historickeho pohladu.
Vies nam povedat ako sa riesia podobne problemy v littérature?
Pekne a plodne pokracovanie v tvojej praci.

PlusPlusPlus · 10. 12. 2017 18:02

Ahoj,
děkuji za odpověď.
Přiznávám, že je někdy obtížné orientovat se v internetovém prostředí. Nejenom já, ale taktéž i někteří další, často žijeme v nějakém omylu. Omyly podvědomě a denně používáme k argumentaci a nepřipouštíme si možnost, že právě my bychom se tady mohli mýlit. Osobně jsem vděčný, když se na mé osobní chyby poukáže. Pokud dokážu chyby analyzovat, můžu se dále posunout.

Jistě je zajímavé číst důkazy vět. Předpoklad je však ten, že musím mít povědomí o tom, že každá konkrétní věta je již vyslovena a současně musím vědět, kde ověřený důkaz k větě hledat.
Na otázku, jak se řeší podobné problémy v literatuře, zatím odpovědět neumím. Do této výše jsem ještě nepokročil. Tipy na zajímavou litaraturu a historický pohled problematiky uvítám.

Ještě jsem se chvíli zabýval problematikou rozvoje funkcí. Pro funkci dvou proměnných můžu zapsat Taylorův rozvoj $n$ tého stupně funkce $f(x,y)$ v bodě $a=(a_x,a_y)$ takto:
$T(x,y,f,a)_n = \sum_{k=0}^{n} \sum_{p=0}^k \frac{(x-a_x)^{n-k}}{(n-k)!} \cdot \frac{(y-a_y)^{p}}{p!} \cdot \frac{\partial^{n-k+p}}{\partial x^{n-k} \partial y^{p}} f(a_x,a_y) = \sum_{c=0}^{n} [(x-a_x) \cdot \frac{\partial}{\partial x}+(y-a_y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}]^{c} f(a_x,a_y)$

Někdy je výhodnější použít jakýsi Taylorův rozvoj neúplného stupně, který zapíšu takto:
$T(x,y,f,a)_{nXn} = \sum_{k=0}^{n} \sum_{p=0}^n \frac{(x-a_x)^{p}}{p!} \cdot \frac{(y-a_y)^{k}}{k!} \cdot \frac{\partial^{p+k}}{\partial x^{p} \partial y^{k}} f(a_x,a_y)$
Tento rozvoj je užitečný pro výpočet limity funkce dvou proměnných. Lze jej rozšířit i pro výpočet limity funkce více proměnných.

Pokusím se vyslovit ještě jednu užitečnou větu, kterou využívám při výpočtu limity funkce dvou a více proměnných. Nevím, jestli už byla vyslovena. Chvíli to ale potrvá, nicméně ji tady určitě doplním.

S pozdravem
P.K.

PlusPlusPlus · 11. 12. 2017 16:39

Ahoj,
pro rozšíření obzorů v založeném vlákně zvažuji koupi této knihy: https://knihy.abz.cz/prodej/funkce-vice-promennych
Váš názor, nebo jiné doporučení? Díky.

PlusPlusPlus · 13. 12. 2017 21:05

Ještě otevírám diskusi k rozvoji funkce jedné proměnné:
Mám funkci $sin{\left( 3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}\right) }$ , kterou rozvíjím v bodě $2$

$T(x,f,2)_{3} = \sin{(20)}+32\cos{(20)}\,\left( x-2\right) +\left( -512\sin{(20)}+17\cos{(20)}\right) \,{{\left( x-2\right) }^{2}}-\frac{\left( 1632\sin{(20)}+16375\cos{(20)}\right) \,{{\left( x-2\right) }^{3}}}{3}$

Funkci můžu rozvinout dle libosti, například takto:
$T_{cosi}(x,f,2)_{2}=\sin{(10x)}+2\sqrt{3}\,\sqrt{10}x\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-\frac{x}{3}}-\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\right) \,\cos{(10x)}+{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-\frac{x}{3}}-\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\right) }^{2}}\,\left( 3x\,\cos{(10x)}-60{{x}^{2}}\,\sin{(10x)}\right)$

Nebo takto:
$T_{cosi 2}(x,f,2)_{1} = 4*(10*cos(20)-200*sin(20))*log(x)^2+2*(log(4)*(400*sin(20)-20*cos(20))+20*cos(20))*log(x)+$
$+sin(20)+log(4)^2*(10*cos(20)-200*sin(20))-20*log(4)*cos(20)$

Zápis pro ověření výsledků v programu Maxima:
$T(x,f,2)_{4}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

$T_{cosi}(x,f,2)_{4}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

$T_{cosi 2}(x,f,2)_{4}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PlusPlusPlus · 26. 12. 2017 11:24

Zdravím všechny zdejší moderátory a uživatele. Chtěl bych Vám popřát hodně zdraví, štěstí a osobních úspěchů v novém roce.

Moje téma uzavírám. Jedna z použtých vět (nevím zda-li již byla vyslovená):
Libovolnou funkci $f(x)$ , lze vyjádřit jako složení dvou funkcí $g(c)$ a $h(x)$ ve tvaru složené funkce $g(h(x))$ .
Potom platí věta $2.1.q$ Plus Taylorův substituční rozvoj složené funkce jedné proměnné v okolí bodu $a$
$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(h(x))= \lim_{x\to a} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}[h(a)]}{k!}[h(x)-h(a)]^k$ kde $g^0$ je nultá derivace, nebo-li, samotná funkce $g(c)$