Matematické Fórum

babac · 11. 12. 2017 20:19 — Editoval babac (11. 12. 2017 20:20)

Dobrý den,
mám za domácí úkol dokázat matematickou indukcí následující příklad:

Máme $\alpha > 0$ . Pomocí MI máme dokázat, že pro $k \in \mathbb{N}$ platí
$(ln (n))^k \in o(n^\alpha )$
( o znamená strinktně nižší řád)
Vím tedy, že dle definice platí
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-12/19878_Sni%25CC%2581mek%2Bobrazovky%2B2017-12-11%2Bv%25C2%25A020.17.38.png

V základním kroku si zvolím n=1, tedy
$(ln 1)^k < c*(1^\alpha ) => 0^k < c*(1^\alpha)$

Indukční krok řeším pro n+1
Tedy $(ln (n+1))^k < c*((n+1)^\alpha )$
což jsme si upravil jako

$(ln (n+1))^k$ $<$ $c *(\mathrm{e}^{\alpha * ln(n+1)} )$

Bohužel nevím, jak dál pokračovat. Nenašel by se někdo, kdo by mi prosím dokázal poradit?

Děkuji za vstřícnost.

jarrro · 12. 12. 2017 01:03 — Editoval jarrro (12. 12. 2017 01:09)

Celé zle . Indukcia ide predsa podľa mocniny logaritmu a nie podľa argumentu
Pre k=1 to platí lebo
$\lim_{n\to\infty}{\frac{\ln{$n$}}{n^{\alpha}}}=0$
Nech $$\forall \alpha >0$$\lim_{n\to \infty}{\frac{\ln^{k}{\(n$}}{n^{\alpha}}}=0\)$ potom
$\lim_{n\to \infty}{\frac{\ln^{k+1}{$n$}}{n^{\alpha}}}=\lim_{n\to \infty}{$\frac{\ln^{k}{\(n$}}{n^{\frac{k\alpha}{k+1}}}\)^{\frac{k+1}{k}}}=0$
Inak pekný príklad úlohy, kde základný krok je zložitejší ako indukčný krok

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2017 20:19 — Editoval babac (11. 12. 2017 20:20)

Matematická indukce

#2 12. 12. 2017 01:03 — Editoval jarrro (12. 12. 2017 01:09)

Re: Matematická indukce

Zápatí