Matematické Fórum

veadet · 10. 12. 2017 12:12

Ahojte, mam za ulohu zistit sucet radu
$\sum_{n=1}^{\infty } n^2 x^n$ pomozete mi niekto? myslim ze derivovanim by sa to dalo ale ako zacat?

Jj · 10. 12. 2017 13:12 — Editoval Jj (10. 12. 2017 13:16)

↑ veadet:

Zdravím.

Asi bych spíše uvažoval o možnosti využití integrace.

A řekl bych, že začít by se mělo určením oboru konvergence řady.

veadet · 10. 12. 2017 18:41

obor konvergencie je $(-1,1)$ ?

Jj · 10. 12. 2017 19:22

↑ veadet:

Ano: $x\in(-1,1)$

Marian · 12. 12. 2017 08:23

Pokud hledáte oba nějaké snadné východisko, nederivoval bych (je to však standardní technika) a co se integrace týče, nevidím, jak by se měla uplatnit (to je důvod, proč do toho vstupuji).

Lze užít pouze znalosti o součtu konečného počtu členů geometrické posloupnosti (dvojnásobné užití tzv. teleskopické metody). Tazatel neupřesnil, jaké techniky jsou pro něj přípustné. Sama informace o tom, že je v hlavičce uvedeno student, ještě nic zásadního neprozrazuje.

Jj · 12. 12. 2017 13:33 — Editoval Jj (12. 12. 2017 13:35)

↑ Marian:

Využití integrace uvažuji takto:

$\sum_{n=1}^{\infty } n^2 x^n=x(1+4x+9x^2+16x^3+\cdots)=$
$=x(c_1 +x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots)'=$
$=x(c_1 +x(1+2x+3x^2+4x^3+\cdots))'=$
$=x(c_1 +x(c_2+x+x^2+x^3+\cdots)')'=$
$=x$c_1+x\(c_2+\frac{x}{1-x}$'\)'=$
$=x$c_1+\frac{x}{(1-x)^2}$'=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$

Takže bych řekl, že (pokud jsem to nepopletl)

$\sum_{n=1}^{\infty } n^2 x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}, \quad |x|<1$ ,

ovšem po tvém vstupu jsem poněkud znejistěl ...

Jiná možnost mě nenapadla.

mirekjiranek · 12. 12. 2017 17:42

Mužeme také provést podílové kritérium, řadu podle toho rozvinout. Výsledek vyjde stejně

vanok · 12. 12. 2017 20:50

Pozdravujem ↑ Jj:, ↑ Marian:
Mala otazka.
Ako pocitate $\sum_{n=0}^{\infty } P(n) x^n$ ? kde P je polynom.
( inac povedane, ktora metoda sa vam najviac paci? Pochopitelne ak vas to zaujima popisem a ja tu moju najoblubenejsiu)

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2017 12:12

sucet radu

#2 10. 12. 2017 13:12 — Editoval Jj (10. 12. 2017 13:16)

Re: sucet radu

#3 10. 12. 2017 18:41

Re: sucet radu

#4 10. 12. 2017 19:22

Re: sucet radu

#5 12. 12. 2017 08:23

Re: sucet radu

#6 12. 12. 2017 13:33 — Editoval Jj (12. 12. 2017 13:35)

Re: sucet radu

#7 12. 12. 2017 17:42

Re: sucet radu

#8 12. 12. 2017 20:50

Re: sucet radu

Zápatí