Matematické Fórum

machutova@post.cz · 13. 12. 2017 11:06

Prosím om pomoc při řešení slovní úlohy:
V dekadické zápisu nějakého přirozeného čísla se vyskytuje 300 jedniček a ostatní cifry jsou nuly. Může být takové číslo druhou mocninou celého čísla?

kerajs · 14. 12. 2017 21:43

$X=\underbrace{111...1}_{300}\underbrace{00...0}_{n}$
1)
$n=2k+1\Rightarrow \\ X=\underbrace{111...1}_{300}\cdot 10^{2k+1}= \underbrace{111...1}_{300}0\cdot (10^k)^{2}=X'\cdot (10^k)^{2}$
X' nemůže být mocninou celého čísla protože má na konci jen jednou 0.
2)
$n=2k\Rightarrow \\ X=\underbrace{111...1}_{300}\cdot 10^{2k}= \underbrace{111...1}_{300}\cdot (10^k)^{2}=X''\cdot (10^k)^{2}$

$X''=(10Y+k)^2 \wedge k \in \{0,1,2,...,9\}\\ ((10Y+k)^2mod10=1)\Rightarrow ((k^2)mod10=1)\Rightarrow (k=1 \wedge k=9)$
a)
$X''=(100Y+10l+1)^2 \wedge l \in \{0,1,2,...,9\}\\ ((100Y+10l+1)^2mod100=11)\Rightarrow ((10l+1)^2mod100=11)\Rightarrow (20l \ mod100=10)\Rightarrow l\in \emptyset$
b)
$X''=(100Y+10l+9)^2 \wedge l \in \{0,1,2,...,9\}\\ ((100Y+10l+9)^2mod100=11)\Rightarrow ((10l+9)^2mod100=11)\Rightarrow (180l \ mod100=30)\Rightarrow l\in \emptyset$
X'' nemůže být druhou mocninou celého čísla.

-------------
X nemůže být druhou mocninou celého čísla.

Pavel · 14. 12. 2017 22:57

↑ machutova@post.cz:

Zadané číslo je evidentně dělitelné třemi. To znamená, že i hledané celé číslo musí být taktéž dělitelné třemi. To navíc znamená, že zadané číslo musí být nutně dělitelné devíti, což evidentně není - spor.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2017 11:06

logická úloha

#2 14. 12. 2017 21:43

Re: logická úloha

#3 14. 12. 2017 22:57

Re: logická úloha

Zápatí