Matematické Fórum

PoisonIvy

Dobrý den,
zkouším vypočítat tento příklad:
"Dvě částice P a Q o hmotnostech M a m mohou bez tření klouzat po hladkém povrchu vodorovného válce. Částice jsou spojeny strunou zanedbatelné hmotnosti o délce $\pi a/2$ . Najděte rovnovážnou polohu soustavy a ukažte, že je nestabilní.
Výsledek je $\Theta = arctan(\frac{m}{M})$

Nejprve bych si sestavila lagrangián a z toho rovnovážnou polohu. Můj problém je, že nevím, jak lagrangián sestavit. Kyvadlo zvládám, a zkoušela jsem něco podobného i zde, ale nevychází.
Chápu, že obě částice nemají stejnou hmotnost, a proto nemůže být rovnovážná poloha uprostřed.
Mám tu i obrázek

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-12/70465_ukol%2Bdo%2Bzmf.png

Také vím, že pokud
$\frac{\partial ^{2}U}{\partial x^{2}_{i}} <0$
pak je poloha labilní.

zdenek1 · 14. 12. 2017 18:29

↑ PoisonIvy:
Na co Lagrangián?
Potenciální energie soustavy je $U=m_2gr\cos \varphi +m_1gr\cos (\frac\pi2-\varphi )=gr(m_2\cos \varphi +m_1\sin \varphi )$
$\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d}\varphi }=gr(-m_2\sin \varphi +m_1\cos \varphi )=0$
a z toho máš ihned tvůj výsledek.

další derivací
$\frac{\mathrm{d}^2 U}{\mathrm{d}\varphi^2 }=gr(-m_2\cos \varphi -m_1\sin \varphi )$
a vzhledem k tomu, že všechny konstanty jsou kladné a $\varphi$ je v prvním kvadrantu, je výraz evidentně záporný.

PoisonIvy · 14. 12. 2017 19:16

Aha, tak to jsem počítala špatně. Děkuju za vysvětlení.

Matematické Fórum

#1 14. 12. 2017 18:04 — Editoval PoisonIvy (14. 12. 2017 18:22)

Dvě spojené částice

#2 14. 12. 2017 18:29

Re: Dvě spojené částice

#3 14. 12. 2017 19:16

Re: Dvě spojené částice

Zápatí