Matematické Fórum

vanok · 19. 12. 2017 11:41

Pozdravujem a zelam Vesele Vianoce a staslivy Novy Rok.
Dalsia rovnica na riesenie.

Vyrieste diofanticku rovnicu $x^3+5=207y^3$ .

Poznamka. Nestaci povedat, ze toto ..... je riesenie, ale treba zvovodnit preco.

kerajs · 19. 12. 2017 16:28 — Editoval kerajs (19. 12. 2017 18:00)

Děkuji i vice-versa.

$x^3+5=9\cdot 23 \cdot y^3$
a)
$x=3k\\ 27k^3+5=9\cdot 23 \cdot y^3\\ 3k^3+\frac{5}{9}= 23 \cdot y^3\\ \frac{5}{9}\not\in\mathbb{Z}$

b)
$x=3k+1\\ 27k^3+27k^2+9k+1+5=9\cdot 23 \cdot y^3\\ 3k^3+3k^2+k+\frac{6}{9}= 23 \cdot y^3\\ \frac{6}{9}\not\in\mathbb{Z}$

c)
$x=3k+2\\ 27k^3+54k^2+36k+8+5=9\cdot 23 \cdot y^3\\ 3k^3+6k^2+4k+\frac{13}{9}= 23 \cdot y^3\\ \frac{13}{9}\not\in\mathbb{Z}$

Nema riesenia.

vanok · 19. 12. 2017 19:15 — Editoval vanok (19. 12. 2017 19:39)

Ahoj ↑ kerajs:,
Ano mas pravdu, tato rovnica nema cele riesenie.
Musim povedat, ze ty si amater vzorcov, a malo slov.
Tak to napisem za teba.
Dajme do popredia methodu, ktora sa da vycitat z tvojich riadkov.
Tvoj postup ukazuje, ze uvazujes tri pripady ako sa da da napisat cele cislo x.
Potom ukazes, ze po uprave dostanes na lavej strane racionalne cislo, ktore nie je cele , ale vyraz na pravej je vzdy cele cislo.
Tento spor ti umoznuje dat tvoju konkluziu: dana rovnica nema riesenie.

A toto je pre stredoskolaka ( dalsia) zaujimava metoda prace. Ak si skutocne stredoskolak, tak si ukazal, ze si myslel na nieco chvalyhodne.

Poznamka. Osobne som riesil toto cvicenie vdaka delitelnosti cislom 9.
Takyto postup, sa da vyjadrit podobne ako tvoj. Na lavo dana rovnica nie je nikdy delitelna cislom 9 ale na pravo je.
Pre amaterov modulo 9, mozme sa tiez lahko dostat k vysledku: pre kazde cele cislo x mame $x^3 +5 \in \{\bar4;\bar{5};\bar {6} \} \mod 9$ a tiez $207y^3= \bar 0 \mod 9$ . Co da tiez spor a da konkluziu, ze dana rovnica nema riesenie.

Matematické Fórum

#1 19. 12. 2017 11:41

Diafonticka rovnica.

#2 19. 12. 2017 16:28 — Editoval kerajs (19. 12. 2017 18:00)

Re: Diafonticka rovnica.

#3 19. 12. 2017 19:15 — Editoval vanok (19. 12. 2017 19:39)

Re: Diafonticka rovnica.

Zápatí